Номер 25.31, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.31. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении $9 : 8$, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

25.31. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r = 16$ см. Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $9:8$, считая от вершины. Это означает, что $BK : KA = 9 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $BK = 9x$ и $KA = 8x$.

Длина боковой стороны $AB$ равна сумме этих отрезков:$AB = BK + KA = 9x + 8x = 17x$.Так как треугольник равнобедренный, $BC = AB = 17x$.

Используем свойство отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности: они равны.

• Отрезки из вершины $A$: $AK = 8x$. Пусть $M$ — точка касания на основании $AC$, тогда $AM = AK = 8x$.
• Отрезки из вершины $B$: $BK = 9x$. Пусть $L$ — точка касания на стороне $BC$, тогда $BL = BK = 9x$.
• Отрезки из вершины $C$: $CL = BC - BL = 17x - 9x = 8x$. Тогда $CM = CL = 8x$.

Теперь найдем длину основания $AC$:$AC = AM + MC = 8x + 8x = 16x$.

Площадь треугольника $S$ можно найти двумя способами.
1. Через полупериметр и радиус вписанной окружности.

Полупериметр $p$ равен:$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17x + 17x + 16x}{2} = \frac{50x}{2} = 25x$.

Формула площади через радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$. Подставим известные значения:$S = 25x \cdot 16 = 400x$.

2. Через основание и высоту.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(17x)^2 - (8x)^2} = \sqrt{289x^2 - 64x^2} = \sqrt{225x^2} = 15x$.

Формула площади через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.$S = \frac{1}{2} \cdot 16x \cdot 15x = 8x \cdot 15x = 120x^2$.

Теперь приравняем два выражения для площади, чтобы найти $x$:$120x^2 = 400x$.

Так как $x$ — коэффициент для длин отрезков, $x \ne 0$. Можем разделить обе части уравнения на $x$:$120x = 400$$x = \frac{400}{120} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

Найдя $x$, вычислим площадь треугольника, подставив значение $x$ в любую из формул для площади. Удобнее использовать $S = 400x$:$S = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3} = 1333\frac{1}{3}$ см².

Ответ: $\frac{4000}{3}$ см² или $1333\frac{1}{3}$ см².