Номер 25.24, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.24. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

25.24. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Для решения задачи необходимо построить треугольник, площадь которого равна площади данного параллелограмма. Такой треугольник называется равновеликим данному параллелограмму. Существует несколько способов построения, рассмотрим один из самых простых.

Анализ

Площадь параллелограмма $S_{пар}$ с основанием $a$ и высотой $h$ вычисляется по формуле $S_{пар} = a \cdot h$. Площадь треугольника $S_{\triangle}$ с основанием $b$ и высотой $h_b$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} b \cdot h_b$.

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник, для которого $S_{\triangle} = S_{пар}$, то есть $\frac{1}{2} b \cdot h_b = a \cdot h$.

Это равенство будет выполняться, если, например, выбрать высоту треугольника равной высоте параллелограмма ($h_b = h$), а основание треугольника — вдвое большим основания параллелограмма ($b = 2a$).

$\frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h$

Таким образом, алгоритм построения может быть основан на создании треугольника с основанием, вдвое большим основания параллелограмма, и с той же высотой.

Построение

1. Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Примем сторону $AD$ за его основание.
2. Проведем прямую, содержащую сторону $AD$.
3. На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ отложим отрезок $DE$, равный $AD$. Это можно сделать с помощью циркуля: измерить расстояние $AD$ и отложить его от точки $D$ на луче $AD$. В результате получим точку $E$ такую, что $AE = AD + DE = 2AD$.
4. Соединим вершину $C$ с точками $A$ и $E$.

Полученный треугольник $AEC$ является искомым.

Доказательство

Пусть длина основания параллелограмма $ABCD$ равна $AD=a$, а его высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AD$, равна $h$. Тогда площадь параллелограмма вычисляется как $S_{ABCD} = AD \cdot h = a \cdot h$.

Рассмотрим построенный треугольник $AEC$. Его основание $AE$. По построению, $AE = 2 \cdot AD = 2a$.

Высота треугольника $AEC$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AE$, совпадает с высотой параллелограмма $h$, так как вершина $C$ лежит на прямой $BC$, которая параллельна прямой $AE$ (по свойству параллелограмма).

Найдем площадь треугольника $AEC$:

$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h$.

Таким образом, мы получили, что $S_{AEC} = S_{ABCD}$. Следовательно, построенный треугольник $AEC$ равновелик данному параллелограмму $ABCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомым является треугольник, у которого основание равно удвоенной стороне параллелограмма, а высота, проведенная к этому основанию, равна высоте параллелограмма, проведенной к этой стороне (например, построенный треугольник $AEC$).