Номер 25.26, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.26. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

25.26. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим длины катетов $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы $AB = c$.

В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r = 4$ см. Пусть точки $K, M, N$ — это точки касания окружности со сторонами $AC, BC$ и $AB$ соответственно.

По условию, точка касания $N$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка. Пусть длина отрезка $AN$ равна $x$ см. Тогда длина отрезка $BN$ равна $(x + 14)$ см. Таким образом, длина гипотенузы $c$ равна:

$c = AN + BN = x + (x + 14) = 2x + 14$

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, мы знаем, что:

• $AK = AN = x$
• $BM = BN = x + 14$
• $CK = CM$

Так как $CKOM$ — квадрат (поскольку $OK \perp AC$, $OM \perp BC$ и $\angle C = 90^\circ$), то его стороны равны радиусу вписанной окружности: $CK = CM = r = 4$ см.

Теперь мы можем выразить длины катетов через $x$:

$b = AC = AK + KC = x + r = x + 4$

$a = BC = BM + MC = (x + 14) + r = x + 14 + 4 = x + 18$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим выражения для $a, b$ и $c$ через $x$:

$(x + 18)^2 + (x + 4)^2 = (2x + 14)^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 36x + 324) + (x^2 + 8x + 16) = 4x^2 + 56x + 196$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 44x + 340 = 4x^2 + 56x + 196$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$0 = (4x^2 - 2x^2) + (56x - 44x) + (196 - 340)$

$0 = 2x^2 + 12x - 144$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 6x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$x_{1} = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_{2} = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Следовательно, $x = 6$ см.

Теперь найдем длины катетов треугольника:

$a = x + 18 = 6 + 18 = 24$ см

$b = x + 4 = 6 + 4 = 10$ см

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$ см².

Ответ: 120 см².