Номер 25.25, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.25. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

25.25. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой площади треугольника.

Пусть в произвольном треугольнике стороны равны $a$, $b$ и $c$. Высоты, проведенные к этим сторонам, обозначим соответственно $h_a$, $h_b$ и $h_c$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить тремя способами, используя каждую из сторон в качестве основания:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
$S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$
$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Так как все эти выражения равны площади одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Умножим все части этого равенства на 2:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$

Это равенство показывает, что произведение стороны треугольника на проведенную к ней высоту есть величина постоянная (равная удвоенной площади треугольника). Отсюда следует, что между длиной стороны и длиной соответствующей высоты существует обратная пропорциональность. То есть, чем больше сторона, тем меньше высота, проведенная к этой стороне.

Пусть, без ограничения общности, сторона $a$ является наибольшей стороной треугольника. Это значит, что выполняется неравенство: $a \ge b$ и $a \ge c$.

Сравним высоты. Из равенства $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ и неравенства $a \ge b$ следует, что для сохранения равенства должно выполняться условие $h_a \le h_b$.

Аналогично, из равенства $a \cdot h_a = c \cdot h_c$ и неравенства $a \ge c$ следует, что $h_a \le h_c$.

Таким образом, мы доказали, что если $a$ — наибольшая сторона, то высота $h_a$, проведенная к ней, является наименьшей из трех высот треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. К наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота, так как произведение стороны на соответствующую ей высоту является постоянной величиной (удвоенной площадью треугольника), что означает обратную пропорциональность между длиной стороны и длиной высоты.