Номер 25.28, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.28. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

25.28. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($∠C = 90°$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

По условию, биссектриса одного из острых углов делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см. Пусть биссектриса $AL$ проведена из вершины острого угла $A$ к катету $BC$. Точка $L$ лежит на катете $BC$.

Тогда длина катета $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = 21 + 35 = 56$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AL$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается так:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CL}{LB}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ является катетом, а $AB$ — гипотенузой, поэтому $AC < AB$. Следовательно, отношение $\frac{AC}{AB} < 1$.

Это означает, что и отношение $\frac{CL}{LB}$ должно быть меньше 1, то есть $CL < LB$. Таким образом, меньший отрезок (21 см) прилежит к вершине прямого угла $C$.

Итак, $CL = 21$ см и $LB = 35$ см.

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{AC}{AB} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$

Пусть длина катета $AC = 3x$, тогда длина гипотенузы $AB = 5x$.

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$(3x)^2 + 56^2 = (5x)^2$

$9x^2 + 3136 = 25x^2$

$25x^2 - 9x^2 = 3136$

$16x^2 = 3136$

$x^2 = \frac{3136}{16}$

$x^2 = 196$

$x = \sqrt{196} = 14$

Теперь найдем длину катета $AC$:

$AC = 3x = 3 \cdot 14 = 42$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56 = 21 \cdot 56 = 1176$ см².

Ответ: 1176 см².