Номер 25.34, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.34. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $4 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции.

25.34. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $4 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. При пересечении диагоналей образуются четыре треугольника: $\triangle BOC$, $\triangle AOD$, $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, – это $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$. По условию, их площади равны 4 см² и 9 см². Пусть $S_{BOC} = 4$ см² и $S_{AOD} = 9$ см².

1. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$.
Эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle BOC = \angle AOD$ как вертикальные.
• $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$
$k^2 = \frac{9}{4}$
$k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
Коэффициент подобия $k$ также равен отношению соответствующих сторон, в том числе и отрезков диагоналей:
$\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = k = \frac{3}{2}$

2. Найдем площади боковых треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины B к диагонали AC. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$
Подставим известные значения:
$\frac{S_{AOB}}{4} = \frac{3}{2}$
$S_{AOB} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ см²

Существует свойство трапеции, согласно которому площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. То есть, $S_{AOB} = S_{COD}$.
Докажем это: треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют общее основание AD и равные высоты (высота трапеции), следовательно, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.
$S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COD} + S_{AOD}$
$S_{AOB} = S_{COD}$
Таким образом, $S_{COD} = 6$ см².

3. Найдем площадь всей трапеции.
Площадь трапеции равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали:
$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{COD}$
$S_{ABCD} = 4 + 9 + 6 + 6 = 25$ см²

Ответ: 25 см².