Номер 25.41, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.41. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

25.41. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Докажем его, используя метод площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка, расположенная внутри этого треугольника. Обозначим расстояния от точки $P$ до сторон $BC, AC$ и $AB$ как $h_1, h_2$ и $h_3$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A, B$ и $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle PAB, \triangle PBC$ и $\triangle PCA$. Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{ABC} = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCA}$.

Площадь каждого из малых треугольников можно выразить через длину стороны большого треугольника $a$ (которая является основанием для каждого малого треугольника) и соответствующее расстояние от точки $P$ (которое является высотой): $S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_3$, $S_{PBC} = \frac{1}{2} a h_1$, и $S_{PCA} = \frac{1}{2} a h_2$.

Подставим эти выражения в формулу для площади $S_{ABC}$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$.

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $H$, опущенную из любой вершины на противоположную сторону: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABC}$: $\frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3) = \frac{1}{2} a H$.

Поскольку длина стороны треугольника $a \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$: $h_1 + h_2 + h_3 = H$.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. Для любого заданного равностороннего треугольника его высота $H$ является постоянной величиной (константой, т.к. $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$). Следовательно, и сумма расстояний от любой внутренней точки до его сторон также является постоянной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной величиной, равной высоте этого треугольника.