Номер 25.48, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.48. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырёхугольника. Докажите, что эта диагональ разбивает четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

25.48. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырёхугольника. Докажите, что эта диагональ разбивает четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина противолежащей стороны $CD$. По условию, диагональ $AC$ пересекает отрезок $MN$ в его середине, точке $P$. Требуется доказать, что эта диагональ разбивает четырёхугольник $ABCD$ на два равновеликих треугольника, то есть $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины его основания на высоту. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ имеют общее основание $AC$. Обозначим через $h_B$ и $h_D$ высоты, опущенные из вершин $B$ и $D$ на прямую $AC$ соответственно. Тогда их площади равны:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_B$

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_D$

Таким образом, для доказательства равенства площадей ($S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$) достаточно доказать равенство высот ($h_B = h_D$).

Для доказательства равенства высот воспользуемся методом координат или свойством проекций. Рассмотрим ориентированное расстояние от точки до прямой $AC$, которое будем считать положительным, если точка лежит по одну сторону от прямой, и отрицательным, если по другую. Обозначим это расстояние как $d(X, AC)$. Поскольку четырёхугольник выпуклый, вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому их ориентированные расстояния $d(B, AC)$ и $d(D, AC)$ имеют противоположные знаки. Высоты $h_B$ и $h_D$ являются модулями этих расстояний: $h_B = |d(B, AC)|$ и $h_D = |d(D, AC)|$.

Ориентированное расстояние от середины отрезка до прямой равно полусумме ориентированных расстояний от его концов до той же прямой. Точки $A$ и $C$ лежат на прямой $AC$, поэтому их расстояния до этой прямой равны нулю: $d(A, AC) = 0$ и $d(C, AC) = 0$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, её ориентированное расстояние до прямой $AC$ равно:

$d(M, AC) = \frac{d(A, AC) + d(B, AC)}{2} = \frac{0 + d(B, AC)}{2} = \frac{1}{2}d(B, AC)$

Аналогично, поскольку $N$ — середина $CD$:

$d(N, AC) = \frac{d(C, AC) + d(D, AC)}{2} = \frac{0 + d(D, AC)}{2} = \frac{1}{2}d(D, AC)$

По условию задачи, точка $P$ является серединой отрезка $MN$. Следовательно, её ориентированное расстояние до прямой $AC$ равно:

$d(P, AC) = \frac{d(M, AC) + d(N, AC)}{2} = \frac{\frac{1}{2}d(B, AC) + \frac{1}{2}d(D, AC)}{2} = \frac{d(B, AC) + d(D, AC)}{4}$

Точка $P$ лежит на диагонали $AC$, поэтому её расстояние до прямой $AC$ равно нулю: $d(P, AC) = 0$. Отсюда получаем:

$\frac{d(B, AC) + d(D, AC)}{4} = 0 \implies d(B, AC) + d(D, AC) = 0$

Это означает, что $d(B, AC) = -d(D, AC)$. Взяв модуль от обеих частей равенства, получаем $|d(B, AC)| = |-d(D, AC)| = |d(D, AC)|$.

Таким образом, мы доказали, что высоты равны: $h_B = h_D$.

Так как треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ имеют общее основание $AC$ и равные высоты, проведённые к этому основанию, их площади равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагональ, обладающая указанным в условии свойством, действительно разбивает четырёхугольник на два равновеликих треугольника.