Номер 25.51, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.51. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника.

25.51. На стороне AC треугольника ABC отметили точку D. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством медианы треугольника: медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Это свойство станет основой для нашего построения.

Анализ и идея решения

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Нам нужно провести через точку $D$ на стороне $AC$ прямую, которая разделит $\triangle ABC$ на два многоугольника, площадь каждого из которых равна $S/2$.

1. Проведём медиану $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $M$ является серединой $AC$. По свойству медианы, площади треугольников $ABM$ и $CBM$ равны:

$S_{ABM} = S_{CBM} = S/2$.

2. Искомая прямая должна проходить через точку $D$. Пусть эта прямая пересекает одну из сторон треугольника (либо $AB$, либо $BC$) в точке $E$. Рассмотрим два возможных случая расположения точки $D$ на стороне $AC$.

Случай 1: Точка $D$ лежит на отрезке $AM$. (Если $D$ совпадает с $M$, то искомая прямая — это сама медиана $BM$).
Предположим, искомая прямая $DE$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Эта прямая делит $\triangle ABC$ на четырехугольник $ABED$ и треугольник $DEC$. Мы хотим, чтобы площадь четырехугольника $ABED$ была равна $S/2$. Так как $S_{ABM}$ также равна $S/2$, мы можем записать равенство:

$S_{ABED} = S_{ABM}$

Распишем площади обеих фигур через площади составляющих их треугольников:

$S_{ABD} + S_{BDE} = S_{ABD} + S_{BDM}$

Отсюда следует, что $S_{BDE} = S_{BDM}$.

Треугольники $BDE$ и $BDM$ имеют общее основание $BD$. Равенство их площадей означает, что их высоты, проведенные к этому основанию, равны. Это возможно только в том случае, если прямая $ME$, соединяющая их вершины $M$ и $E$, параллельна общему основанию $BD$.

Случай 2: Точка $D$ лежит на отрезке $MC$.
Предположим, искомая прямая $DE$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Эта прямая делит $\triangle ABC$ на треугольник $ADE$ и четырехугольник $DBCE$. Мы хотим, чтобы площадь треугольника $ADE$ была равна $S/2$. Так как $S_{ABM} = S/2$, мы можем записать равенство:

$S_{ADE} = S_{ABM}$

Треугольники $ADE$ и $ABM$ имеют общий угол при вершине $A$. Их площади связаны соотношением $S = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$. Таким образом:

$\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} AM \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$

Отсюда получаем $AD \cdot AE = AM \cdot AB$, что можно переписать в виде пропорции: $\frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AD}$.
Эта пропорция является признаком подобия треугольников $AEM$ и $ADB$ ($\triangle AEM \sim \triangle ADB$), так как у них общий угол $A$ и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Из подобия следует, что углы $\angle AEM$ и $\angle ADB$ равны, а значит, прямая $ME$ параллельна прямой $DB$.

Таким образом, в обоих случаях задача сводится к одному и тому же геометрическому построению.

Построение

1. На стороне $AC$ находим середину — точку $M$.
2. Если точка $D$ совпадает с $M$, то искомая прямая — это медиана $BM$.
3. Если $D$ не совпадает с $M$, проводим отрезок $BD$.
4. Через точку $M$ проводим прямую, параллельную $BD$.
5. Точка пересечения этой прямой с одной из сторон $AB$ или $BC$ является искомой точкой $E$.
6. Проводим прямую $DE$. Эта прямая делит треугольник $ABC$ на два равновеликих многоугольника.

Доказательство

Докажем, что построенная прямая $DE$ действительно делит площадь $\triangle ABC$ пополам. По построению, $ME \parallel BD$.

1. Точка $D$ лежит на отрезке $AM$ ($D \ne M$). В этом случае прямая, проходящая через $M$ параллельно $BD$, пересекает сторону $BC$ в точке $E$.
Рассмотрим треугольники $BDM$ и $BDE$. Их основание $BD$ общее, а высоты, опущенные из вершин $M$ и $E$ на прямую $BD$, равны, так как $ME \parallel BD$. Следовательно, их площади равны: $S_{BDM} = S_{BDE}$.
Прямая $DE$ разбивает $\triangle ABC$ на четырехугольник $ABED$ и $\triangle DEC$. Площадь четырехугольника $ABED$ равна:

$S_{ABED} = S_{ABD} + S_{BDE} = S_{ABD} + S_{BDM} = S_{ABM}$

Так как $BM$ — медиана, то $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$. Таким образом, $S_{ABED} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, что и требовалось доказать.

2. Точка $D$ лежит на отрезке $MC$ ($D \ne M$). В этом случае прямая, проходящая через $M$ параллельно $BD$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$.
Поскольку $ME \parallel BD$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $AEM$ и $ADB$) следует, что $\frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AD}$.
Прямая $DE$ отсекает от $\triangle ABC$ треугольник $ADE$. Сравним его площадь с площадью $\triangle ABM$:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABM}} = \frac{\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} AB \cdot AM \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AM}$

Из пропорции $\frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AD}$ следует, что $AE \cdot AD = AB \cdot AM$. Подставив это в отношение площадей, получим:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABM}} = \frac{AB \cdot AM}{AB \cdot AM} = 1$

Следовательно, $S_{ADE} = S_{ABM}$. Так как $BM$ — медиана, то $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$. Таким образом, $S_{ADE} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Алгоритм построения искомой прямой следующий:
1. Найти середину $M$ стороны $AC$.
2. Провести отрезок $BD$.
3. Через точку $M$ провести прямую, параллельную $BD$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ или $BC$ будет точкой $E$.
4. Прямая $DE$ является искомой.
(Если точка $D$ совпадает с $M$, то искомая прямая — это медиана $BM$.)