Номер 25.47, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.47. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $S_{ABCD} = \left(\sqrt{S_{AOD}} + \sqrt{S_{COB}}\right)^2$, то $AD \parallel BC$.

25.47. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $S_{ABCD} = (\sqrt{S_{AOD}} + \sqrt{S_{COB}})^2$, то $AD \parallel BC$.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$ можно представить как сумму площадей четырёх треугольников, образованных пересечением диагоналей:$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COB} + S_{COD} + S_{AOD}$.

По условию задачи дано, что $S_{ABCD} = (\sqrt{S_{AOD}} + \sqrt{S_{COB}})^2$.Приравняем два выражения для площади $S_{ABCD}$:$S_{AOB} + S_{COB} + S_{COD} + S_{AOD} = (\sqrt{S_{AOD}} + \sqrt{S_{COB}})^2$.

Раскроем квадрат суммы в правой части равенства:$(\sqrt{S_{AOD}} + \sqrt{S_{COB}})^2 = S_{AOD} + 2\sqrt{S_{AOD} \cdot S_{COB}} + S_{COB}$.

Подставим это выражение в наше уравнение:$S_{AOB} + S_{COB} + S_{COD} + S_{AOD} = S_{AOD} + 2\sqrt{S_{AOD} \cdot S_{COB}} + S_{COB}$.

Вычтем из обеих частей $S_{AOD}$ и $S_{COB}$:$S_{AOB} + S_{COD} = 2\sqrt{S_{AOD} \cdot S_{COB}}$.

Воспользуемся известным свойством площадей треугольников, на которые выпуклый четырёхугольник делится диагоналями: произведение площадей противолежащих треугольников равны. То есть, $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{COB} \cdot S_{AOD}$.Из этого свойства следует, что $\sqrt{S_{AOB} \cdot S_{COD}} = \sqrt{S_{COB} \cdot S_{AOD}}$.

Заменим корень в правой части нашего уравнения:$S_{AOB} + S_{COD} = 2\sqrt{S_{AOB} \cdot S_{COD}}$.

Перенесём все слагаемые в левую часть:$S_{AOB} - 2\sqrt{S_{AOB} \cdot S_{COD}} + S_{COD} = 0$.

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:$(\sqrt{S_{AOB}} - \sqrt{S_{COD}})^2 = 0$.

Отсюда следует, что $\sqrt{S_{AOB}} - \sqrt{S_{COD}} = 0$, и, поскольку площади неотрицательны, $S_{AOB} = S_{COD}$.

Рассмотрим площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.$S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$$S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}$

Так как мы доказали, что $S_{AOB} = S_{COD}$, то и $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют общее основание $AD$. Площади этих треугольников равны, следовательно, высоты, проведённые к этому общему основанию из вершин $B$ и $C$, также равны. Поскольку четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$. Равенство высот означает, что точки $B$ и $C$ равноудалены от прямой $AD$. Это возможно только в том случае, если прямая $BC$ параллельна прямой $AD$.

Таким образом, доказано, что $AD \parallel BC$.

Ответ: Утверждение доказано.