Номер 25.50, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.50. Два параллелограмма расположены так, что они имеют общую вершину, а ещё одна вершина каждого из параллелограммов лежит на стороне другого параллелограмма (рис. 25.9). Докажите, что площади этих параллелограммов равны.

Рис. 25.9

25.50. Два параллелограмма расположены так, что они имеют общую вершину, а ещё одна вершина каждого из параллелограммов лежит на стороне другого параллелограмма (рис. 25.9). Докажите, что площади этих параллелограммов равны.

Рис. 25.9

Пусть даны параллелограммы $ABCD$ и $BKMN$ с общей вершиной $B$. По условию задачи, вершина $K$ параллелограмма $BKMN$ лежит на стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$, а вершина $C$ параллелограмма $ABCD$ лежит на стороне $MN$ параллелограмма $BKMN$. Необходимо доказать, что площади этих параллелограммов равны, то есть $S_{ABCD} = S_{BKMN}$.

Для доказательства этого утверждения выразим площади обоих параллелограммов через площадь треугольника $KBC$.

1. Связь площади $ABCD$ и площади $\triangle KBC$
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна произведению длины его основания на высоту. Выберем в качестве основания сторону $BC$. Тогда $S_{ABCD} = |BC| \cdot h_{AD \to BC}$, где $h_{AD \to BC}$ — высота, равная расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$.
Теперь рассмотрим площадь треугольника $KBC$. Если взять за основание сторону $BC$, то его площадь будет $S_{\triangle KBC} = \frac{1}{2} |BC| \cdot h_{K \to BC}$, где $h_{K \to BC}$ — высота, опущенная из вершины $K$ на прямую $BC$.
Так как точка $K$ лежит на прямой $AD$, а прямая $AD$ параллельна прямой $BC$, то высота $h_{K \to BC}$ в точности равна расстоянию между этими прямыми, то есть $h_{K \to BC} = h_{AD \to BC}$.
Следовательно, $S_{\triangle KBC} = \frac{1}{2} |BC| \cdot h_{AD \to BC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Отсюда получаем: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle KBC}$.

2. Связь площади $BKMN$ и площади $\triangle KBC$
Аналогично, площадь параллелограмма $BKMN$ с основанием $BK$ равна $S_{BKMN} = |BK| \cdot h_{MN \to BK}$, где $h_{MN \to BK}$ — высота, равная расстоянию между параллельными прямыми $MN$ и $BK$.
Рассмотрим площадь того же треугольника $KBC$, но на этот раз выберем в качестве основания сторону $BK$. Площадь будет равна $S_{\triangle KBC} = \frac{1}{2} |BK| \cdot h_{C \to BK}$, где $h_{C \to BK}$ — высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $BK$.
Так как точка $C$ лежит на прямой $MN$, а прямая $MN$ параллельна прямой $BK$, то высота $h_{C \to BK}$ в точности равна расстоянию между этими прямыми, то есть $h_{C \to BK} = h_{MN \to BK}$.
Следовательно, $S_{\triangle KBC} = \frac{1}{2} |BK| \cdot h_{MN \to BK} = \frac{1}{2} S_{BKMN}$. Отсюда получаем: $S_{BKMN} = 2 \cdot S_{\triangle KBC}$.

Из результатов, полученных в пунктах 1 и 2, мы имеем:
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle KBC}$
$S_{BKMN} = 2 \cdot S_{\triangle KBC}$
Таким образом, $S_{ABCD} = S_{BKMN}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади этих параллелограммов равны.