Номер 25.56, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.56. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $S_{ABE} = S_{DCE} = 1 \text{ см}^2$, $S_{ABCD} \le 4 \text{ см}^2$, $AD = 3 \text{ см}$. Найдите сторону $BC$.

25.56. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $S_{ABE} = S_{DCE} = 1 \text{ см}^2$, $S_{ABCD} \leq 4 \text{ см}^2$, $AD = 3 \text{ см}$. Найдите сторону $BC$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Площадь четырехугольника $ABCD$ складывается из площадей четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{BCE} + S_{DCE} + S_{ADE}$.
По условию, $S_{ABE} = 1 \text{ см}^2$ и $S_{DCE} = 1 \text{ см}^2$. Обозначим $S_{BCE} = S_2$ и $S_{ADE} = S_4$.

Треугольники $ABE$ и $BCE$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:$$ \frac{S_{ABE}}{S_{BCE}} = \frac{AE}{CE} $$Аналогично, для треугольников $ADE$ и $DCE$, имеющих общую высоту из вершины $D$ к прямой $AC$:$$ \frac{S_{ADE}}{S_{DCE}} = \frac{AE}{CE} $$Приравнивая эти два выражения, получаем:$$ \frac{S_{ABE}}{S_{BCE}} = \frac{S_{ADE}}{S_{DCE}} $$Подставим известные значения площадей:$$ \frac{1}{S_2} = \frac{S_4}{1} $$Отсюда следует важное соотношение: $S_2 \cdot S_4 = 1$.

Теперь воспользуемся условием, что площадь всего четырехугольника $S_{ABCD} \le 4 \text{ см}^2$.$$ S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{BCE} + S_{DCE} + S_{ADE} = 1 + S_2 + 1 + S_4 = 2 + S_2 + S_4 $$Из условия $S_{ABCD} \le 4$ получаем:$$ 2 + S_2 + S_4 \le 4 $$$$ S_2 + S_4 \le 2 $$

Мы получили систему для $S_2$ и $S_4$:$$ \begin{cases} S_2 \cdot S_4 = 1 \\ S_2 + S_4 \le 2 \end{cases} $$Рассмотрим неравенство о средних арифметическом и геометрическом для положительных чисел $S_2$ и $S_4$:$$ \frac{S_2 + S_4}{2} \ge \sqrt{S_2 \cdot S_4} $$Подставляя $S_2 \cdot S_4 = 1$, получаем:$$ \frac{S_2 + S_4}{2} \ge \sqrt{1} $$$$ S_2 + S_4 \ge 2 $$Сопоставляя полученное неравенство $S_2 + S_4 \ge 2$ с неравенством из условия $S_2 + S_4 \le 2$, приходим к единственному возможному выводу, что $S_2 + S_4 = 2$.Равенство в неравенстве о средних достигается тогда и только тогда, когда числа равны, то есть $S_2 = S_4$.Решая систему уравнений $S_2 + S_4 = 2$ и $S_2 = S_4$, находим, что $S_2 = S_4 = 1 \text{ см}^2$.

Таким образом, площади всех четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, равны: $S_{ABE} = S_{BCE} = S_{DCE} = S_{ADE} = 1 \text{ см}^2$.

Рассмотрим отношение площадей треугольников $ABE$ и $ADE$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к диагонали $BD$. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований:$$ \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}} = \frac{BE}{DE} $$Подставляя значения площадей, получаем:$$ \frac{1}{1} = \frac{BE}{DE} \implies BE = DE $$Это означает, что точка $E$ является серединой диагонали $BD$.

Аналогично, рассмотрим отношение площадей треугольников $ABE$ и $BCE$:$$ \frac{S_{ABE}}{S_{BCE}} = \frac{AE}{CE} $$Подставляя значения площадей, получаем:$$ \frac{1}{1} = \frac{AE}{CE} \implies AE = CE $$Это означает, что точка $E$ является серединой диагонали $AC$.

Поскольку диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, $BC = AD$.По условию задачи $AD = 3 \text{ см}$.Значит, $BC = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см.