Номер 25.57, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.57. В треугольнике отметили две точки. Расстояние от одной из них до сторон треугольника равны 1 см, 3 см и 15 см, а от другой — 4 см, 5 см и 11 см (стороны рассматриваются в одном и том же порядке). Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

25.57. В треугольнике отметили две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1 см, 3 см и 15 см, а от другой — 4 см, 5 см и 11 см (стороны рассматриваются в одном и том же порядке). Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Пусть стороны треугольника обозначаются $a$, $b$ и $c$. Внутри треугольника отмечены две точки, назовем их $P_1$ и $P_2$. Расстояния от точки $P_1$ до сторон $a$, $b$ и $c$ равны $h_{1a} = 1$ см, $h_{1b} = 3$ см и $h_{1c} = 15$ см соответственно. Расстояния от точки $P_2$ до тех же сторон в том же порядке равны $h_{2a} = 4$ см, $h_{2b} = 5$ см и $h_{2c} = 11$ см.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка, равноудаленная от всех сторон треугольника. Это общее расстояние является радиусом вписанной окружности, который мы обозначим как $r$.

Рассмотрим любую точку $P(t)$ на прямой, проходящей через точки $P_1$ и $P_2$. Её положение можно задать параметрически. Расстояния от точки $P(t)$ до сторон треугольника являются линейной комбинацией расстояний от точек $P_1$ и $P_2$. Пусть $h_a(t)$, $h_b(t)$ и $h_c(t)$ — расстояния от точки $P(t)$ до сторон $a$, $b$ и $c$. Тогда:

$h_a(t) = (1-t)h_{1a} + t h_{2a} = (1-t) \cdot 1 + t \cdot 4 = 1 - t + 4t = 1 + 3t$
$h_b(t) = (1-t)h_{1b} + t h_{2b} = (1-t) \cdot 3 + t \cdot 5 = 3 - 3t + 5t = 3 + 2t$
$h_c(t) = (1-t)h_{1c} + t h_{2c} = (1-t) \cdot 15 + t \cdot 11 = 15 - 15t + 11t = 15 - 4t$

Для того чтобы точка $P(t)$ была центром вписанной окружности, необходимо, чтобы все три расстояния были равны $r$:$h_a(t) = h_b(t) = h_c(t) = r$

Приравняем первые два выражения, чтобы найти значение параметра $t$, для которого точка лежит на биссектрисе одного из углов:$1 + 3t = 3 + 2t$
$3t - 2t = 3 - 1$
$t = 2$

Теперь подставим найденное значение $t=2$ во все три выражения, чтобы проверить, будет ли эта точка равноудалена от всех трех сторон, и найти радиус $r$:
$h_a(2) = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$
$h_b(2) = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$
$h_c(2) = 15 - 4(2) = 15 - 8 = 7$

Поскольку все три расстояния равны 7, точка на прямой $P_1P_2$, соответствующая $t=2$, является центром вписанной окружности треугольника. Радиус вписанной окружности равен этому общему расстоянию.

Ответ: 7 см.