Номер 25.53, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.53. Дан квадрат $ABCD$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}$.

25.53. Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек X таких, что $S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}$.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Найдём геометрическое место точек $X$, удовлетворяющих условию $S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}$.

Площадь треугольника можно выразить через длину его основания и высоту, проведенную к этому основанию. Для треугольников, сторонами которых являются стороны квадрата, площади равны:

$S_{ABX} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} a \cdot h_{AB}$

$S_{CDX} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_{CD} = \frac{1}{2} a \cdot h_{CD}$

$S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{BC}$

$S_{ADX} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AD} = \frac{1}{2} a \cdot h_{AD}$

Здесь $h_{AB}$, $h_{CD}$, $h_{BC}$ и $h_{AD}$ — это высоты, опущенные из точки $X$ на прямые, содержащие стороны $AB$, $CD$, $BC$ и $AD$ соответственно. Фактически, это расстояния от точки $X$ до соответствующих прямых.

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$\frac{1}{2} a \cdot h_{AB} + \frac{1}{2} a \cdot h_{CD} = \frac{1}{2} a \cdot h_{BC} + \frac{1}{2} a \cdot h_{AD}$

Сократив на $\frac{1}{2}a$ (так как $a \neq 0$), получим:

$h_{AB} + h_{CD} = h_{BC} + h_{AD}$

Это означает, что сумма расстояний от точки $X$ до прямых, содержащих противоположные стороны $AB$ и $CD$, равна сумме расстояний до прямых, содержащих две другие противоположные стороны $BC$ и $AD$.

Для анализа этого условия введём прямоугольную систему координат. Расположим квадрат так, чтобы его вершины имели координаты: $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$ и $D(0, a)$. Пусть точка $X$ имеет координаты $(x, y)$.

Прямые, содержащие стороны квадрата, задаются уравнениями:

• Прямая $AB$: $y = 0$
• Прямая $CD$: $y = a$
• Прямая $BC$: $x = a$
• Прямая $AD$: $x = 0$

Расстояния от точки $X(x, y)$ до этих прямых равны:

• $h_{AB} = |y|$
• $h_{CD} = |y - a|$
• $h_{BC} = |x - a|$
• $h_{AD} = |x|$

Тогда наше равенство принимает вид:

$|y| + |y - a| = |x| + |x - a|$

Рассмотрим функцию $f(t) = |t| + |t - a|$. Уравнение можно записать как $f(y) = f(x)$.

Проанализируем функцию $f(t)$. Она представляет собой сумму расстояний от точки $t$ на числовой прямой до точек $0$ и $a$.

• Если $t$ находится между $0$ и $a$ ($0 \le t \le a$), то $f(t) = t + (a - t) = a$.
• Если $t > a$, то $f(t) = t + (t - a) = 2t - a$.
• Если $t < 0$, то $f(t) = -t + (a - t) = a - 2t$.

Равенство $f(y) = f(x)$ выполняется в следующих случаях:

1. Если $y = x$. Это очевидное решение, так как $f(x) = f(x)$. В нашей системе координат уравнение $y=x$ задает прямую, проходящую через начало координат $A(0,0)$ и точку $C(a,a)$. Это прямая, содержащая диагональ $AC$ квадрата.

2. Если $y \ne x$. Функция $f(t)$ симметрична относительно точки $t = a/2$. То есть, $f(a/2 + d) = f(a/2 - d)$ для любого $d$. Следовательно, равенство $f(y) = f(x)$ будет выполняться не только при $y=x$, но и когда $y$ и $x$ симметричны относительно $a/2$. Условие симметрии записывается как $y - a/2 = -(x - a/2)$, что равносильно $y - a/2 = -x + a/2$, или $x + y = a$.

В нашей системе координат уравнение $x+y=a$ задает прямую, проходящую через точки $B(a,0)$ и $D(0,a)$. Это прямая, содержащая диагональ $BD$ квадрата.

Таким образом, искомое геометрическое место точек $X$ — это совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют либо уравнению $y=x$, либо уравнению $x+y=a$. Геометрически это две прямые, на которых лежат диагонали квадрата $ABCD$.

Ответ: Геометрическое место точек X — это пара прямых, содержащих диагонали квадрата $ABCD$.