Номер 25.49, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.49. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M, N, K$ и $F$ так, что $MK \parallel BC$, $NF \parallel AB$. Отрезки $MK$ и $NF$ пересекаются в точке $Q$. Площади параллелограммов $MBNQ$, $NCKQ$ и $KDFQ$ равны соответственно $3 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $5 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма $FAMQ$.

25.49. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$, $N$, $K$ и $F$ так, что $MK \parallel BC$, $NF \parallel AB$.

Отрезки $MK$ и $NF$ пересекаются в точке $Q$. Площади параллелограммов $MBNQ$, $NCKQ$ и $KDFQ$ равны соответственно $3 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $5 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма $FAMQ$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. На его сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ отмечены точки $M, N, K$ и $F$ соответственно. По условию, $MK \parallel BC$ и $NF \parallel AB$. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel DA$), то мы имеем $MK \parallel BC \parallel DA$ и $NF \parallel AB \parallel CD$.

Отрезки $MK$ и $NF$, пересекаясь в точке $Q$, разбивают исходный параллелограмм $ABCD$ на четыре меньших четырехугольника: $FAMQ$, $MBNQ$, $NCKQ$ и $KDFQ$.

Докажем, что каждый из этих четырехугольников является параллелограммом. Например, для $MBNQ$: сторона $MB$ лежит на прямой $AB$, а сторона $NQ$ лежит на прямой $NF$. Так как $NF \parallel AB$, то $MB \parallel NQ$. Сторона $BN$ лежит на прямой $BC$, а сторона $MQ$ лежит на прямой $MK$. Так как $MK \parallel BC$, то $BN \parallel MQ$. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Аналогично доказывается, что $FAMQ$, $NCKQ$ и $KDFQ$ также являются параллелограммами.

По условию известны площади трех из этих параллелограммов:$S_{MBNQ} = 3 \text{ см}^2$
$S_{NCKQ} = 4 \text{ см}^2$
$S_{KDFQ} = 5 \text{ см}^2$
Требуется найти $S_{FAMQ}$.

Пусть $\angle DAB = \alpha$ — один из углов параллелограмма $ABCD$. Тогда смежный с ним угол $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$. Все четыре малых параллелограмма имеют углы, равные $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Введем обозначения для длин отрезков. Пусть $AM = x_1$ и $MB = x_2$. Пусть $AF = y_1$ и $FD = y_2$.
Поскольку $FAMQ$, $MBNQ$, $NCKQ$ и $KDFQ$ — параллелограммы, их противоположные стороны равны.
Из $MBNQ$ следует, что $BN = MQ$. Из $FAMQ$ следует, что $AF = MQ$. Таким образом, $BN = AF = y_1$.
Из $NCKQ$ следует, что $NC = QK$. Из $KDFQ$ следует, что $FD = QK$. Таким образом, $NC = FD = y_2$.
Аналогично, $DK = FQ = AM = x_1$ и $KC = NQ = MB = x_2$.

Теперь выразим площади малых параллелограммов через $x_1, x_2, y_1, y_2$ и $\sin\alpha$:
$S_{FAMQ} = AM \cdot AF \cdot \sin(\angle FAM) = x_1 \cdot y_1 \cdot \sin(\alpha)$
$S_{MBNQ} = MB \cdot BN \cdot \sin(\angle MBN) = x_2 \cdot y_1 \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = x_2 y_1 \sin(\alpha)$
$S_{NCKQ} = KC \cdot NC \cdot \sin(\angle KCN) = x_2 \cdot y_2 \cdot \sin(\alpha)$
$S_{KDFQ} = KD \cdot FD \cdot \sin(\angle KDF) = x_1 \cdot y_2 \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = x_1 y_2 \sin(\alpha)$

Используя данные из условия, составим систему уравнений:
1) $S_{MBNQ} = x_2 y_1 \sin(\alpha) = 3$
2) $S_{NCKQ} = x_2 y_2 \sin(\alpha) = 4$
3) $S_{KDFQ} = x_1 y_2 \sin(\alpha) = 5$
4) $S_{FAMQ} = x_1 y_1 \sin(\alpha)$

Заметим, что произведение площадей параллелограммов, расположенных "накрест" (не имеющих общей стороны), одинаково:
$S_{MBNQ} \cdot S_{KDFQ} = (x_2 y_1 \sin(\alpha)) \cdot (x_1 y_2 \sin(\alpha)) = x_1 x_2 y_1 y_2 \sin^2(\alpha)$
$S_{NCKQ} \cdot S_{FAMQ} = (x_2 y_2 \sin(\alpha)) \cdot (x_1 y_1 \sin(\alpha)) = x_1 x_2 y_1 y_2 \sin^2(\alpha)$

Следовательно, $S_{MBNQ} \cdot S_{KDFQ} = S_{NCKQ} \cdot S_{FAMQ}$.

Подставим известные значения в это равенство:
$3 \cdot 5 = 4 \cdot S_{FAMQ}$
$15 = 4 \cdot S_{FAMQ}$

Отсюда находим искомую площадь:
$S_{FAMQ} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ см}^2$

Ответ: $3.75 \text{ см}^2$.