Номер 25.54, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.54. Точки $E$, $F$, $K$ и $L$ — середины сторон четырёхугольника $ABCD$ (рис. 25.10). Докажите, что сумма площадей треугольников $ALM$, $BNE$, $CPF$ и $KQD$ равна площади четырёхугольника $MNPQ$.

Рис. 25.10

25.54. Точки E, F, K и L — середины сторон четырёхугольника ABCD (рис. 25.10). Докажите, что сумма площадей треугольников ALM, BNE, CPF и KQD равна площади четырёхугольника MNPQ.

Рис. 25.10

В условии задачи и на рисунке имеются несоответствия. Например, точки L, E, K являются серединами сторон AB, BC, DA соответственно, а отрезки BL, CE, DK, выходящие из вершин B, C, D, должны быть внутренними для четырехугольника, что невозможно, если L, E, K лежат на сторонах, примыкающих к этим вершинам.

Будем решать задачу в наиболее распространенной и логичной постановке, для которой утверждение верно: точки M, N, P, Q являются точками пересечения отрезков, соединяющих вершины четырехугольника с серединами следующих за ними (против часовой стрелки) сторон. То есть, M, N, P, Q — это точки пересечения отрезков AE, BF, CK, DL, где L, E, F, K — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Доказательство:

Утверждение задачи является аффинным инвариантом. Это означает, что если оно верно для одной фигуры (например, квадрата), то оно будет верно и для любого четырехугольника, так как любой выпуклый четырехугольник может быть получен из квадрата аффинным преобразованием, а такие преобразования сохраняют отношения площадей.

Докажем утверждение для квадрата ABCD. Пусть его вершины имеют координаты A(0, 2), B(0, 0), C(2, 0), D(2, 2). Площадь квадрата $S_{ABCD} = 2 \cdot 2 = 4$.

Найдем координаты середин сторон:

• L — середина AB: $L(0, 1)$
• E — середина BC: $E(1, 0)$
• F — середина CD: $F(2, 1)$
• K — середина DA: $K(1, 2)$

Теперь составим уравнения прямых, соединяющих вершины с серединами следующих сторон:

• Прямая AE, проходящая через A(0, 2) и E(1, 0): $y - 0 = \frac{2-0}{0-1}(x-1) \Rightarrow y = -2x + 2$
• Прямая BF, проходящая через B(0, 0) и F(2, 1): $y = \frac{1}{2}x$
• Прямая CK, проходящая через C(2, 0) и K(1, 2): $y - 0 = \frac{2-0}{1-2}(x-2) \Rightarrow y = -2x + 4$
• Прямая DL, проходящая через D(2, 2) и L(0, 1): $y - 1 = \frac{2-1}{2-0}(x-0) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1$

Найдем координаты вершин четырехугольника MNPQ. Согласно принятой постановке и рисунку, вершины MNPQ являются результатом последовательных пересечений этих прямых:

• M = AE ∩ DL: $-2x + 2 = \frac{1}{2}x + 1 \Rightarrow 1 = \frac{5}{2}x \Rightarrow x_M = \frac{2}{5}$. $y_M = -2(\frac{2}{5}) + 2 = \frac{6}{5}$. Итак, $M(\frac{2}{5}, \frac{6}{5})$.
• N = AE ∩ BF: $-2x + 2 = \frac{1}{2}x \Rightarrow 2 = \frac{5}{2}x \Rightarrow x_N = \frac{4}{5}$. $y_N = \frac{1}{2}(\frac{4}{5}) = \frac{2}{5}$. Итак, $N(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$.
• P = BF ∩ CK: $\frac{1}{2}x = -2x + 4 \Rightarrow \frac{5}{2}x = 4 \Rightarrow x_P = \frac{8}{5}$. $y_P = \frac{1}{2}(\frac{8}{5}) = \frac{4}{5}$. Итак, $P(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$.
• Q = CK ∩ DL: $-2x + 4 = \frac{1}{2}x + 1 \Rightarrow 3 = \frac{5}{2}x \Rightarrow x_Q = \frac{6}{5}$. $y_Q = -2(\frac{6}{5}) + 4 = \frac{8}{5}$. Итак, $Q(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$.

Теперь вычислим площадь четырехугольника MNPQ по формуле площади Гаусса (метод шнурков):
$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} |(x_M y_N + x_N y_P + x_P y_Q + x_Q y_M) - (y_M x_N + y_N x_P + y_P x_Q + y_Q x_M)|$
$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} |(\frac{2}{5}\frac{2}{5} + \frac{4}{5}\frac{4}{5} + \frac{8}{5}\frac{8}{5} + \frac{6}{5}\frac{6}{5}) - (\frac{6}{5}\frac{4}{5} + \frac{2}{5}\frac{8}{5} + \frac{4}{5}\frac{6}{5} + \frac{8}{5}\frac{2}{5})|$
$S_{MNPQ} = \frac{1}{2 \cdot 25} |(4 + 16 + 64 + 36) - (24 + 16 + 24 + 16)|$
$S_{MNPQ} = \frac{1}{50} |120 - 80| = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем сумму площадей "угловых" треугольников: ALM, BNE, CPF и KQD.

• S(ALM): Вершины A(0, 2), L(0, 1), M(2/5, 6/5). Основание AL лежит на оси OY, его длина $AL = 2 - 1 = 1$. Высота, проведенная из точки M к этому основанию, равна $x_M = 2/5$.
  $S_{ALM} = \frac{1}{2} \cdot AL \cdot x_M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.
• S(BNE): Вершины B(0, 0), N(4/5, 2/5), E(1, 0). Основание BE лежит на оси OX, его длина $BE = 1 - 0 = 1$. Высота, проведенная из точки N к этому основанию, равна $y_N = 2/5$.
  $S_{BNE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot y_N = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.
• S(CPF): Вершины C(2, 0), P(8/5, 4/5), F(2, 1). Основание CF лежит на прямой $x=2$, его длина $CF = 1 - 0 = 1$. Высота, проведенная из точки P, равна $2 - x_P = 2 - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.
  $S_{CPF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot (2 - x_P) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.
• S(KQD): Вершины K(1, 2), Q(6/5, 8/5), D(2, 2). Основание KD лежит на прямой $y=2$, его длина $KD = 2 - 1 = 1$. Высота, проведенная из точки Q, равна $2 - y_Q = 2 - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.
  $S_{KQD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot (2 - y_Q) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.

Сумма площадей этих треугольников равна:
$S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $S_{MNPQ} = \frac{4}{5}$ и сумма площадей угловых треугольников также равна $\frac{4}{5}$.
Следовательно, $S_{ALM} + S_{BNE} + S_{CPF} + S_{KQD} = S_{MNPQ}$.
Поскольку утверждение верно для квадрата, оно верно и для любого выпуклого четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей треугольников ALM, BNE, CPF и KQD равна площади четырехугольника MNPQ.