Номер 25.45, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.45. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник $BCM$, быть в 2 раза меньше, чем радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$?

25.45. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник $BCM$, быть в 2 раза меньше, чем радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$?

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. $BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $AM = MC = \frac{b}{2}$. Обозначим длину медианы $BM$ как $m_b$.

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а $r_1$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $BCM$.Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Для треугольника $ABC$:

• Площадь: $S_{ABC} = S$
• Полупериметр: $p_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{c + a + b}{2}$
• Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S_{ABC}}{p_{ABC}} = \frac{S}{(a+b+c)/2}$

Для треугольника $BCM$:

• Стороны: $BC = a$, $CM = \frac{b}{2}$, $BM = m_b$
• Площадь: медиана $BM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника равной площади, поэтому $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{S}{2}$
• Полупериметр: $p_{BCM} = \frac{BC + CM + BM}{2} = \frac{a + b/2 + m_b}{2}$
• Радиус вписанной окружности: $r_1 = \frac{S_{BCM}}{p_{BCM}} = \frac{S/2}{(a + b/2 + m_b)/2}$

По условию задачи, мы должны проверить, может ли выполняться соотношение $r_1 = \frac{r}{2}$. Подставим в это равенство выражения для $r_1$ и $r$:$$ \frac{S/2}{(a + b/2 + m_b)/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{(a+b+c)/2} $$Поскольку площадь $S$ ненулевая, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{S}{2}$:$$ \frac{1}{(a + b/2 + m_b)/2} = \frac{1}{(a+b+c)/2} $$Из этого следует, что знаменатели дробей должны быть равны:$$ \frac{a + b/2 + m_b}{2} = \frac{a+b+c}{2} $$$$ a + \frac{b}{2} + m_b = a+b+c $$Выразим отсюда $m_b$:$$ m_b = (a+b+c) - a - \frac{b}{2} $$$$ m_b = c + \frac{b}{2} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$, сторонами которого являются $AB = c$, $AM = \frac{b}{2}$ и $BM = m_b$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Для сторон $AB$ и $AM$ это неравенство выглядит так:$$ AB + AM > BM $$$$ c + \frac{b}{2} > m_b $$

Таким образом, мы получили два утверждения:

1. Из предположения, что $r_1 = r/2$, следует, что $m_b = c + \frac{b}{2}$.
2. Из неравенства треугольника для $\triangle ABM$ следует, что $m_b < c + \frac{b}{2}$.

Эти два утверждения противоречат друг другу. Равенство $m_b = c + \frac{b}{2}$ могло бы выполняться только в вырожденном случае, когда точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой. Это, в свою очередь, означало бы, что и исходный треугольник $ABC$ является вырожденным, что противоречит условию.

Следовательно, предположение о том, что радиус окружности, вписанной в треугольник $BCM$, может быть в 2 раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$, является неверным.

Ответ: нет, не может.