Номер 26.4, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.4. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 26.7 (длины отрезков даны в сантиметрах).

a трапеция с верхним основанием $40$, нижним основанием $60$ и углами при нижнем основании $45^\circ$.

б трапеция с верхним основанием $32$, нижним основанием $48$, боковой стороной $10$ и углом при нижнем основании $60^\circ$.

Рис. 26.7

26.4. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 26.7 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Верхнее основание: 40, нижнее основание: 60, углы при основании: $45^\circ$.

Верхнее основание: 32, нижнее основание: 48, боковая сторона: 10, угол при этой стороне: $60^\circ$.

Рис. 26.7

а

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Из рисунка имеем: верхнее основание $a=40$ см, нижнее основание $b=60$ см. Углы при нижнем основании равны $45^\circ$, следовательно, трапеция является равнобедренной. Для нахождения высоты $h$ проведем две высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Они разделят трапецию на центральный прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам. Длину катета каждого треугольника, лежащего на нижнем основании, можно найти по формуле $\frac{b-a}{2}$. Подставим значения: $\frac{60-40}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Он имеет угол $45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике $180^\circ$, а один из углов прямой ($90^\circ$), то второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Таким образом, высота трапеции $h$ равна второму катету, то есть $h = 10$ см. Теперь вычислим площадь трапеции: $S = \frac{40+60}{2} \cdot 10 = \frac{100}{2} \cdot 10 = 50 \cdot 10 = 500$ см².
Ответ: $500$ см².

б

Площадь трапеции вычисляется по той же формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Из рисунка имеем: верхнее основание $a=32$ см, нижнее основание $b=48$ см. Боковая сторона равна $10$ см, а прилежащий к ней угол при нижнем основании равен $60^\circ$. Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$. Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором: - гипотенуза — это боковая сторона трапеции, равная $10$ см; - один из острых углов равен $60^\circ$; - катет, противолежащий этому углу, является высотой трапеции $h$. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, имеем: $\sin(60^\circ) = \frac{h}{10}$ Отсюда выразим высоту: $h = 10 \cdot \sin(60^\circ)$. Поскольку значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см. Теперь подставим все известные значения в формулу площади трапеции: $S = \frac{32+48}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{80}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 40 \cdot 5\sqrt{3} = 200\sqrt{3}$ см².
Ответ: $200\sqrt{3}$ см².