Номер 26.8, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.8. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.

26.8. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причём AD является большим основанием. Боковые стороны трапеции $AB = 17$ см и $CD = 25$ см, а высота $h = 15$ см. Углы при основании AD, то есть ∠A и ∠D, являются острыми. Пусть AK — биссектриса угла A, а DK — биссектриса угла D. По условию, точка пересечения биссектрис K принадлежит другому основанию, то есть BC.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а AK является секущей, то углы ∠BKA и ∠KAD равны как накрест лежащие. Поскольку AK — биссектриса угла A, то $∠BAK = ∠KAD$. Из этого следует, что $∠BAK = ∠BKA$. Таким образом, треугольник ABK является равнобедренным с основанием AK, и, следовательно, $BK = AB = 17$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник CDK. Углы ∠CKD и ∠KDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей DK. Поскольку DK — биссектриса угла D, то $∠CDK = ∠KDA$. Отсюда следует, что $∠CDK = ∠CKD$. Значит, треугольник CDK является равнобедренным с основанием DK, и $CK = CD = 25$ см.

Так как точка K лежит на основании BC, то длина этого основания равна сумме длин отрезков BK и CK: $BC = BK + CK = 17 + 25 = 42$ см.

Теперь найдем длину большего основания AD. Проведем из вершин B и C высоты BH и CM на основание AD. Длина этих высот равна высоте трапеции: $BH = CM = h = 15$ см. Четырехугольник BCMH является прямоугольником, поэтому $HM = BC = 42$ см.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора найдем катет AH: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

В прямоугольном треугольнике CDM по теореме Пифагора найдем катет DM: $DM = \sqrt{CD^2 - CM^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{(25-15)(25+15)} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400} = 20$ см.

Длина большего основания AD равна сумме длин отрезков AH, HM и DM: $AD = AH + HM + DM = 8 + 42 + 20 = 70$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$. Подставим найденные значения: $S = \frac{42 + 70}{2} \cdot 15 = \frac{112}{2} \cdot 15 = 56 \cdot 15 = 840$ см².

Ответ: 840 см².