Номер 26.10, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.10. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $20\sqrt{3}$ см и образует с основанием угол $60^{\circ}$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

26.10. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $20\sqrt{3}$ см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

1. Найдем высоту трапеции.

Рассмотрим равнобокую трапецию. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции ($c = 20\sqrt{3}$ см), а одним из острых углов — угол при основании трапеции ($\alpha = 60^\circ$). Высота трапеции $h$ будет катетом, противолежащим этому углу.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$h = c \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$h = 20\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = 30$ см.

2. Найдем сумму оснований.

По условию, в трапецию можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырехугольника, это возможно только в том случае, если суммы длин его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований ($a+b$) равна сумме длин боковых сторон ($c+d$).

Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $c = d = 20\sqrt{3}$ см.

Следовательно, сумма оснований равна:

$a + b = c + d = 20\sqrt{3} + 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим площадь трапеции.

Теперь, зная высоту и сумму оснований, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{40\sqrt{3}}{2} \cdot 30 = 20\sqrt{3} \cdot 30 = 600\sqrt{3}$ см².

Ответ: $600\sqrt{3}$ см².