Номер 26.16, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.16. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен 12,5 см.

26.16. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен 12,5 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, боковая сторона $CD = 15$ см. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$. Трапеция вписана в окружность, радиус которой $R = 12,5$ см.

Поскольку трапеция вписана в окружность, то и треугольник $ACD$ вписан в эту же окружность. Вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза треугольника $ACD$, которой является большее основание трапеции $AD$, есть диаметр описанной окружности.

Найдем длину большего основания $AD$:

$AD = 2R = 2 \cdot 12,5 = 25$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ по теореме Пифагора найдём длину диагонали $AC$:

$AC^2 + CD^2 = AD^2$

$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{(25-15)(25+15)} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400} = 20$ см.

Проведём высоту трапеции $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Эта высота также является высотой прямоугольного треугольника $ACD$, проведённой к гипотенузе. Площадь треугольника $ACD$ можно выразить двумя способами:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot CD = \frac{1}{2} AD \cdot CH$

Отсюда можем найти высоту $h = CH$:

$h = CH = \frac{AC \cdot CD}{AD} = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH$. По теореме Пифагора найдём длину отрезка $HD$:

$HD^2 + CH^2 = CD^2$

$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

В равнобокой трапеции основания связаны через проекцию боковой стороны на большее основание по формуле $BC = AD - 2 \cdot HD$.

Найдем длину меньшего основания $BC$:

$BC = 25 - 2 \cdot 9 = 25 - 18 = 7$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции $S$:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{25 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{32}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$ см$^2$.

Ответ: 192 см$^2$.