Номер 26.21, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.21. В прямоугольную трапецию $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$) вписана окружность с центром в точке $O$. Найдите площадь трапеции, если $OC = 6$ см, $OD = 8$ см.

26.21. В прямоугольную трапецию $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$) вписана окружность с центром в точке $O$. Найдите площадь трапеции, если $OC = 6$ см, $OD = 8$ см.

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция, в которой $BC \parallel AD$ и $AB \perp AD$. Окружность с центром в точке $O$ вписана в эту трапецию. Это означает, что центр $O$ является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Следовательно, $CO$ — биссектриса угла $BCD$, а $DO$ — биссектриса угла $ADC$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $CD$ имеем: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $COD$. Поскольку $CO$ и $DO$ — биссектрисы, то $\angle OCD = \frac{1}{2}\angle BCD$ и $\angle ODC = \frac{1}{2}\angle ADC$. Сумма этих углов в треугольнике $COD$ равна:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Тогда третий угол треугольника $COD$, $\angle COD$, равен:$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Следовательно, треугольник $COD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $COD$ катетами являются стороны $OC$ и $OD$, а гипотенузой — сторона $CD$. По теореме Пифагора найдем длину $CD$:$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ см$^2$.$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ равен высоте $OH$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $CD$ в треугольнике $COD$. Площадь треугольника $COD$ можно вычислить двумя способами:$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.Также $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot r = 5r$.Приравняв два выражения для площади, получим:$5r = 24 \Rightarrow r = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Так как трапеция $ABCD$ прямоугольная, ее высота $AB$ равна диаметру вписанной окружности:$h = AB = 2r = 2 \cdot 4.8 = 9.6$ см.

По свойству описанного четырехугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность), суммы длин противоположных сторон равны:$AB + CD = BC + AD$.Найдем сумму оснований трапеции:$BC + AD = 9.6 + 10 = 19.6$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot AB$.Подставим найденные значения:$S_{ABCD} = \frac{19.6}{2} \cdot 9.6 = 9.8 \cdot 9.6 = 94.08$ см$^2$.

Ответ: $94.08$ см$^2$.