Номер 26.19, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.19. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.

26.19. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую можно вписать окружность. Пусть основаниями трапеции будут $AD$ и $BC$, а боковыми сторонами – $AB$ и $CD$. Пусть углы при стороне $AB$ прямые, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Обозначим длины оснований как $AD=a$ и $BC=b$. Высота трапеции равна длине стороны $AB$, обозначим её как $h$. Длину наклонной стороны обозначим как $CD=c$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Ключевым свойством описанного четырехугольника (то есть четырехугольника, в который можно вписать окружность) является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается как:

$AD + BC = AB + CD$

Или в наших обозначениях:

$a + b = h + c$

Выразим отсюда длину стороны $c$:

$c = a + b - h$

Теперь проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В полученном прямоугольном треугольнике $CED$ катет $CE$ равен высоте трапеции $h$, а катет $ED$ равен разности длин оснований $a - b$. Гипотенуза $CD$ равна $c$.

По теореме Пифагора для треугольника $CED$ имеем:

$CD^2 = CE^2 + ED^2$

Подставим наши обозначения:

$c^2 = h^2 + (a-b)^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $c$, полученное из свойства описанного четырехугольника:

$(a+b-h)^2 = h^2 + (a-b)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a^2 - 2ab + b^2)$

$a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим одинаковые члены ($a^2$, $b^2$, $h^2$) в обеих частях:

$2ab - 2h(a+b) = -2ab$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $h$:

$4ab = 2h(a+b)$

$h = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$

Мы получили выражение для высоты трапеции через её основания. Подставим это выражение в формулу площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{2ab}{a+b}$

Сокращая множители $(a+b)$ и $2$, получаем:

$S = ab$

Таким образом, мы доказали, что площадь равна произведению оснований.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.