Номер 26.12, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.12. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

26.12. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол — $45^{\circ}$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям AB и DC. Следовательно, AD является высотой трапеции $h$. По условию, $AD = 8$ см.

Острый угол трапеции $\angle C = 45^\circ$. Проведём высоту BE из вершины B на основание DC. Получим прямоугольник ABED и прямоугольный треугольник BEC.

В прямоугольнике ABED сторона BE равна высоте трапеции, то есть $BE = AD = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. Угол $\angle C = 45^\circ$, а катет $BE = 8$ см. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то угол $\angle EBC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник BEC является равнобедренным, и его катеты равны: $EC = BE = 8$ см.

Найдём длину второй (большей) боковой стороны BC, которая является гипотенузой треугольника BEC. По теореме Пифагора: $BC^2 = BE^2 + EC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$. $BC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

По условию, в трапецию можно вписать окружность. Это возможно только в том случае, если суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AB + DC = AD + BC$.

Подставим известные значения длин боковых сторон: $AB + DC = 8 + 8\sqrt{2}$ см.

Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{AB + DC}{2} \cdot h$

Подставим в формулу сумму оснований и высоту: $S = \frac{8 + 8\sqrt{2}}{2} \cdot 8 = (4 + 4\sqrt{2}) \cdot 8 = 32 + 32\sqrt{2} = 32(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $32(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.