Номер 26.7, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.7. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

26.7. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), а боковая сторона AB перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$). Следовательно, углы A и B являются прямыми, $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Согласно условию, основания равны 9 см и 17 см. Пусть меньшее основание $BC = 9$ см, а большее основание $AD = 17$ см. В такой трапеции угол C — тупой, а угол D — острый.

В условии сказано, что диагональ является биссектрисой тупого угла. Тупой угол в нашей трапеции — это $\angle BCD$. Диагональ, выходящая из вершины C, — это AC. Следовательно, AC является биссектрисой угла BCD. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то при пересечении их секущей AC накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из двух полученных равенств ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$) следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник ADC является равнобедренным, так как углы при его основании AC равны. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, боковая сторона $CD$ равна основанию $AD$.

Так как длина основания $AD = 17$ см, то длина боковой стороны $CD$ также равна 17 см.

Для вычисления площади трапеции необходимо найти ее высоту, которая равна длине стороны AB. Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Получим прямоугольник ABCH, в котором высота трапеции $AB = CH$, а отрезок $AH = BC = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Его гипотенуза $CD = 17$ см. Длину катета HD можно найти как разность длин основания AD и отрезка AH:
$HD = AD - AH = 17 - 9 = 8$ см.

По теореме Пифагора для треугольника CHD ($CD^2 = CH^2 + HD^2$), найдем высоту CH:
$CH^2 = CD^2 - HD^2$
$CH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
$CH = \sqrt{225} = 15$ см.

Таким образом, высота трапеции $h = CH = 15$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где a и b — длины оснований, h — высота.
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CH = \frac{9+17}{2} \cdot 15 = \frac{26}{2} \cdot 15 = 13 \cdot 15 = 195$ см².

Ответ: 195 см².