Номер 26.9, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.9. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

26.9. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны (BC || AD). Углы при одном из оснований, например BC, являются тупыми. Пусть AB и CD — боковые стороны, причем $AB = 10$ см, $CD = 17$ см. Высота трапеции $h = 8$ см.

Пусть BK и CK — биссектрисы тупых углов ∠ABC и ∠BCD соответственно. По условию, точка их пересечения K лежит на другом основании, то есть K принадлежит отрезку AD.

Рассмотрим треугольник ABK. Поскольку BC || AD, то углы ∠KBC и ∠AKB являются внутренними накрест лежащими при секущей BK. Следовательно, $∠KBC = ∠AKB$.Так как BK — биссектриса угла ∠ABC, то $∠ABK = ∠KBC$.Из этих двух равенств следует, что $∠ABK = ∠AKB$. Это означает, что треугольник ABK является равнобедренным с основанием BK. Таким образом, сторона AK равна стороне AB:$AK = AB = 10$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник CDK. Так как BC || AD, то углы ∠BCK и ∠CKD являются внутренними накрест лежащими при секущей CK, поэтому $∠BCK = ∠CKD$.Поскольку CK — биссектриса угла ∠BCD, то $∠BCK = ∠DCK$.Следовательно, $∠DCK = ∠CKD$, и треугольник CDK является равнобедренным с основанием CK. Таким образом, сторона DK равна стороне CD:$DK = CD = 17$ см.

Длина большего основания AD равна сумме длин отрезков AK и DK, так как точка K лежит между A и D:$AD = AK + DK = 10 + 17 = 27$ см.

Для нахождения площади трапеции нам также нужна длина меньшего основания BC. Проведем из вершин B и C высоты $BH_1$ и $CH_2$ на основание AD. Длина этих высот равна высоте трапеции: $BH_1 = CH_2 = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH_1$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AH_1$:$AH_1 = \sqrt{AB^2 - BH_1^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH_2$. По теореме Пифагора найдем длину катета $DH_2$:$DH_2 = \sqrt{CD^2 - CH_2^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AH_1 + H_1H_2 + H_2D$. Четырехугольник $BCH_2H_1$ является прямоугольником, поэтому $H_1H_2 = BC$.Подставим найденные значения в равенство:$27 = 6 + BC + 15$$27 = 21 + BC$$BC = 27 - 21 = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{27 + 6}{2} \cdot 8 = \frac{33}{2} \cdot 8 = 33 \cdot 4 = 132$ см$^2$.

Ответ: 132 см$^2$.