Номер 26.15, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.15. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

26.15. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 40$ см, меньшее основание $BC = 24$ см. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны ($AB = CD$). Также известно, что диагональ перпендикулярна боковой стороне. Будем считать, что диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить высоту трапеции.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, который высота отсекает на большем основании, равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{40 - 24}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота $CH$ делит основание $AD$ на два отрезка: $HD$ и $AH$. Длина отрезка $AH$ равна: $AH = AD - HD = 40 - 8 = 32$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Так как по условию $AC \perp CD$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, $AD$ — гипотенуза этого треугольника, а $CH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, справедливо свойство: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: $CH^2 = AH \cdot HD$

Подставим найденные значения длин отрезков $AH$ и $HD$ в эту формулу, чтобы найти высоту трапеции $h = CH$: $h^2 = 32 \cdot 8 = 256$ $h = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь, зная высоту и длины оснований, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{40 + 24}{2} \cdot 16 = \frac{64}{2} \cdot 16 = 32 \cdot 16 = 512$ см².

Ответ: 512 см².