Номер 26.20, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.20. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

26.20. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим трапецию как $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD$.

Пусть точка касания $K$ делит боковую сторону $CD$ на отрезки $CK = 4$ см и $KD = 9$ см. Тогда длина боковой стороны трапеции равна:$c = CD = CK + KD = 4 + 9 = 13$ см.

Важным свойством описанного четырехугольника (в данном случае трапеции) является то, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$AD + BC = AB + CD$Поскольку трапеция равнобокая ($AB = CD$), то $AD + BC = 2 \cdot CD$.Следовательно, сумма оснований равна:$AD + BC = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Радиус вписанной окружности можно найти, используя свойство отрезков касательных. Рассмотрим треугольник $COD$, где $O$ — центр вписанной окружности. Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $BCD$ и $ADC$ соответственно. Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$ ($\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$), то сумма их половин равна $90^\circ$:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.Это означает, что треугольник $COD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Отрезок $OK$, где $K$ — точка касания, является радиусом окружности и высотой в прямоугольном треугольнике $COD$, проведенной к гипотенузе $CD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$OK^2 = CK \cdot KD$$r^2 = 4 \cdot 9 = 36$$r = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции:$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$Подставим известные нам значения суммы оснований и высоты:$S = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см$^2$.

Ответ: $156 \text{ см}^2$.