Номер 26.23, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.23. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

26.23. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Из вершины тупого угла C проведем высоту CH на основание AD. Диагональ BD пересекает высоту CH в точке O.

Из условия задачи нам известно:

• Трапеция ABCD — равнобокая ($AB = CD$).
• Высота CH делится точкой O на отрезки $CO = 15$ см и $OH = 12$ см. Точка O находится между C и H, поэтому полная высота трапеции $h = CH = CO + OH = 15 + 12 = 27$ см.
• Боковая сторона равна меньшему основанию: $CD = BC$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOH$.

• Основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
• $\angle BOC = \angle DOH$ как вертикальные углы.
• $\angle OBC = \angle ODH$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOH$ подобны по двум углам (признак подобия по углам).

2. Из подобия треугольников следует отношение пропорциональности их сторон:

$\frac{BC}{DH} = \frac{CO}{OH}$

Подставим известные длины отрезков высоты:

$\frac{BC}{DH} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

Отсюда можно выразить DH через BC: $DH = \frac{4}{5}BC$.

3. Обозначим длину меньшего основания $BC$ и равной ей боковой стороны $CD$ через $x$. То есть, $BC = CD = x$.

Тогда $DH = \frac{4}{5}x$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. В нем катеты CH и DH, гипотенуза CD. Применим теорему Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + DH^2$

Подставим наши переменные и известные значения:

$x^2 = 27^2 + \left(\frac{4}{5}x\right)^2$

$x^2 = 729 + \frac{16}{25}x^2$

Перенесем слагаемое с $x^2$ в левую часть и решим уравнение:

$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 729$

$\frac{25-16}{25}x^2 = 729$

$\frac{9}{25}x^2 = 729$

$x^2 = \frac{729 \cdot 25}{9}$

$x^2 = 81 \cdot 25$

$x = \sqrt{81 \cdot 25} = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, меньшее основание $BC = 45$ см.

5. Найдем длину большего основания AD. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, отсекает на большем основании отрезок, длина которого равна полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2}$.

Отсюда $2 \cdot HD = AD - BC$, и $AD = BC + 2 \cdot HD$.

Найдем длину отрезка HD:

$DH = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 45 = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Теперь найдем длину основания AD:

$AD = 45 + 2 \cdot 36 = 45 + 72 = 117$ см.

6. Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

$S = \frac{117 + 45}{2} \cdot 27 = \frac{162}{2} \cdot 27 = 81 \cdot 27$

$S = 2187$ см$^2$.

Ответ: $2187 \text{ см}^2$.