Номер 26.29, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.29. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, точка $M$ — середина стороны $AB$. Найдите площадь треугольника $CMD$, если площадь данной трапеции равна $S$.

26.29. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, точка $M$ — середина стороны $AB$.

Найдите площадь треугольника $CMD$, если площадь данной трапеции равна $S$.

Для решения данной задачи существует несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Через разность площадей

Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей трех треугольников, на которые она разбивается отрезками $CM$ и $DM$: $\triangle AMD$, $\triangle BMC$ и $\triangle CMD$.

$S_{ABCD} = S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMD}$

По условию, площадь трапеции равна $S$. Тогда искомая площадь треугольника $CMD$ может быть найдена как:

$S_{\triangle CMD} = S - (S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC})$

Найдем сумму площадей треугольников $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$.

Пусть основания трапеции равны $BC = a$ и $AD = b$, а высота трапеции равна $h$. Площадь трапеции выражается формулой:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную основаниям $AD$ и $BC$. Так как точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, то расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно половине высоты трапеции, то есть $\frac{h}{2}$. Это расстояние является высотой треугольника $\triangle AMD$, проведенной из вершины $M$ к основанию $AD$.

Площадь треугольника $\triangle AMD$ равна:

$S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$

Аналогично, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ также равно $\frac{h}{2}$ и является высотой треугольника $\triangle BMC$, проведенной из вершины $M$ к основанию $BC$.

Площадь треугольника $\triangle BMC$ равна:

$S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$

Сумма площадей этих двух треугольников:

$S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a+b)h}{4}$

Сравнивая это выражение с формулой площади трапеции $S = \frac{(a+b)h}{2}$, получаем:

$S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} S$

Наконец, подставляем это значение в формулу для площади треугольника $\triangle CMD$:

$S_{\triangle CMD} = S - (S_{\triangle AMD} + S_{\triangle BMC}) = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2}$

Ответ: $\frac{S}{2}$

Способ 2: С дополнительным построением

Продлим отрезок $CM$ до пересечения с прямой, содержащей основание $AD$, в точке $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMK$.

1. $AM = MB$, так как $M$ — середина $AB$ по условию.

2. $\angle BMC = \angle AMK$ как вертикальные углы.

3. Так как $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то $BC \parallel AK$. Тогда $\angle MBC = \angle MAK$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AK$ секущей $AB$.

Следовательно, $\triangle BMC \cong \triangle AMK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, во-первых, равенство их площадей: $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle AMK}$, а во-вторых, равенство соответствующих сторон: $CM = MK$.

Теперь сравним площадь трапеции $S_{ABCD}$ и площадь полученного треугольника $\triangle CDK$.

Площадь трапеции складывается из площадей многоугольника $AMCD$ и треугольника $\triangle BMC$:

$S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{\triangle BMC}$

Площадь треугольника $\triangle CDK$ складывается из площадей того же многоугольника $AMCD$ и треугольника $\triangle AMK$:

$S_{\triangle CDK} = S_{AMCD} + S_{\triangle AMK}$

Поскольку $S_{\triangle BMC} = S_{\triangle AMK}$, то $S_{ABCD} = S_{\triangle CDK}$. Учитывая, что по условию $S_{ABCD} = S$, получаем $S_{\triangle CDK} = S$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CDK$. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с точкой $M$. Так как $CM = MK$, точка $M$ является серединой стороны $CK$. Следовательно, отрезок $DM$ является медианой треугольника $\triangle CDK$.

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Поэтому:

$S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} S_{\triangle CDK}$

Подставляя $S_{\triangle CDK} = S$, находим искомую площадь:

$S_{\triangle CMD} = \frac{S}{2}$

Ответ: $\frac{S}{2}$