Номер 26.32, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.32. Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны.

26.32. Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.Пусть $M$ — середина боковой стороны $CD$, то есть $CM = MD$.Проведем перпендикуляр $MK$ из точки $M$ на прямую, содержащую боковую сторону $AB$. Длину этого перпендикуляра обозначим $h_m$.Нам нужно доказать, что площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна произведению $AB \cdot h_m$.

Выполним дополнительное построение: продлим луч $BM$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle EDM$. В них:1) $CM = MD$ (по условию, $M$ — середина $CD$);2) $\angle BCM = \angle EDM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$);3) $\angle CMB = \angle DME$ (как вертикальные углы).Следовательно, $\triangle BCM = \triangle EDM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их площадей: $S_{\triangle BCM} = S_{\triangle EDM}$.Также из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $BM = ME$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $ABMD$ и треугольника $\triangle BCM$:$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle BCM}$.Поскольку $S_{\triangle BCM} = S_{\triangle EDM}$, мы можем заменить одно слагаемое на другое:$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle EDM}$.Сумма площадей $S_{ABMD}$ и $S_{\triangle EDM}$ составляет площадь большого треугольника $\triangle ABE$.Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $\triangle ABE$:$S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$.

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle ABE$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем за основание сторону $AB$.$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_E$, где $h_E$ — это высота, опущенная из вершины $E$ на прямую, содержащую сторону $AB$.

Рассмотрим $\triangle EBL$, где $L$ — основание высоты $h_E$ на прямой $AB$. У нас есть два перпендикуляра к прямой $AB$: $EL$ (высота $h_E$) и $MK$ (перпендикуляр $h_m$). Так как они оба перпендикулярны одной прямой, то $EL \parallel MK$.В треугольнике $\triangle EBL$ точка $M$ является серединой стороны $BE$ (так как $BM = ME$) и через нее проходит отрезок $MK$, параллельный стороне $EL$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MK$ является средней линией $\triangle EBL$.Следовательно, его длина равна половине длины стороны $EL$:$MK = \frac{1}{2} EL \implies h_m = \frac{1}{2} h_E \implies h_E = 2h_m$.

Подставим найденное выражение для $h_E$ в формулу площади треугольника $\triangle ABE$:$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (2h_m) = AB \cdot h_m$.

Так как $S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$, то окончательно получаем:$S_{ABCD} = AB \cdot h_m$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь трапеции действительно равна произведению её боковой стороны на длину перпендикуляра, опущенного на прямую, содержащую эту сторону, из середины другой боковой стороны.