Номер 26.34, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.34. На рисунке 26.10 изображены два квадрата, стороны которых равны 1 см. Эти квадраты расположены так, что вершина O одного квадрата является точкой пересечения диагоналей другого.

Чему равна площадь закрашенного четырёхугольника?

Рис. 26.10

26.34. На рисунке 26.10 изображены два квадрата, стороны которых равны 1 см. Эти квадраты расположены так, что вершина O одного квадрата является точкой пересечения диагоналей другого. Чему равна площадь закрашенного четырёхугольника?

Рис. 26.10

Для решения этой задачи воспользуемся методом сравнения площадей. Пусть имеется два квадрата со стороной $a = 1$ см. Первый квадрат (назовём его $K_1$) расположен неподвижно, а второй ($K_2$) повёрнут так, что одна из его вершин совпадает с центром первого квадрата (точкой $O$). Нам нужно найти площадь их общей части (закрашенного четырёхугольника).

Площадь неподвижного квадрата $K_1$ равна $S_{K_1} = a^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

Диагонали квадрата $K_1$ делят его на четыре равных по площади равнобедренных прямоугольных треугольника. Площадь каждого такого треугольника составляет $S_{\triangle} = \frac{1}{4} S_{K_1} = \frac{1}{4} \cdot 1 = 0,25$ см$^2$.

Рассмотрим один из этих треугольников, например, $\triangle OBC$, где $B$ и $C$ — соседние вершины квадрата $K_1$. Угол при вершине $O$, то есть $\angle BOC$, прямой и равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим второй квадрат, $K_2$. Его вершина находится в точке $O$, а две стороны, исходящие из этой вершины, образуют прямой угол $\angle POQ = 90^\circ$. Эти стороны пересекают стороны квадрата $K_1$ в точках $P$ и $Q$. Закрашенная фигура — это четырёхугольник, образованный пересечением квадратов.

Докажем, что площадь закрашенной фигуры равна площади одного из четырёх треугольников, на которые диагонали делят квадрат $K_1$, то есть $0,25$ см$^2$.

Пусть стороны угла квадрата $K_2$ пересекают стороны $BC$ и $CD$ квадрата $K_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда закрашенная фигура — это четырёхугольник $OMCN$.

Сравним треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle OCN$.

• $OB = OC$, так как это половины диагоналей одного квадрата.
• Углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle OBC$ равны, $\angle OBC = \angle OCB = 45^\circ$. Аналогично, $\angle OCD = 45^\circ$. Следовательно, $\angle OBM = \angle OCN = 45^\circ$.
• Угол между диагоналями $\angle BOC = 90^\circ$. Угол квадрата $K_2$ также равен $90^\circ$, т.е. $\angle MON = 90^\circ$.
• Мы можем представить эти углы в виде суммы:
  $\angle BOC = \angle BOM + \angle MOC = 90^\circ$
  $\angle MON = \angle MOC + \angle CON = 90^\circ$
• Из этих равенств следует, что $\angle BOM = \angle CON$.

Таким образом, треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle OCN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): $OB=OC$, $\angle OBM = \angle OCN$ и $\angle BOM = \angle CON$.

Поскольку треугольники равны, их площади также равны: $S_{\triangle OBM} = S_{\triangle OCN}$.

Площадь закрашенного четырёхугольника $OMCN$ можно представить как сумму площадей двух треугольников: $S_{OMCN} = S_{\triangle OMC} + S_{\triangle OCN}$.

Заменим в этой сумме площадь $\triangle OCN$ на равную ей площадь $\triangle OBM$:

$S_{OMCN} = S_{\triangle OMC} + S_{\triangle OBM}$

Сумма площадей $S_{\triangle OMC} + S_{\triangle OBM}$ в точности равна площади треугольника $\triangle OBC$.

$S_{OMCN} = S_{\triangle OBC}$

Площадь треугольника $\triangle OBC$ составляет четверть площади всего квадрата $K_1$.

$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{4} S_{K_1} = \frac{1}{4} \cdot 1 \text{ см}^2 = 0,25 \text{ см}^2$.

Следовательно, площадь закрашенного четырёхугольника не зависит от угла поворота второго квадрата и всегда равна $0,25$ см$^2$.

Ответ: $0,25$ см$^2$.