Номер 26.33, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.33. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны (рис. $26.9$). Известно, что $BH \perp AD$ и $BH = 1$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Рис. $26.9$

26.33. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны (рис. 26.9). Известно, что $BH \perp AD$ и $BH = 1$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Рис. 26.9

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Опустим из вершины B перпендикуляр BE на прямую, содержащую сторону CD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию, углы $ \angle ABC $ и $ \angle ADC $ прямые. Сумма противоположных углов четырехугольника равна $ \angle ABC + \angle ADC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это означает, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. Сумма двух других противоположных углов также равна $180^\circ$: $ \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ $.

Угол $ \angle BCE $ является смежным с углом $ \angle BCD $, поэтому $ \angle BCE = 180^\circ - \angle BCD $. Из предыдущего соотношения следует, что $ \angle BCE = \angle BAD $.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ (угол $ \angle BHA = 90^\circ $ по условию) и $ \triangle CBE $ (угол $ \angle BEC = 90^\circ $ по построению). В этих треугольниках:
1. $ AB = BC $ (по условию).
2. $ \angle BAH = \angle BCE $ (как было доказано выше).
Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle CBE $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следуют равенства соответствующих сторон: $ BH = BE $ и $ AH = CE $. По условию $ BH = 1 $, значит, и $ BE = 1 $.

Рассмотрим четырехугольник BHDE. В нем три прямых угла: $ \angle HDE $ (он же $ \angle ADC $), $ \angle BHD $ (так как $ BH \perp AD $) и $ \angle BED $ (так как $ BE \perp CD $). Следовательно, BHDE является прямоугольником. Поскольку у этого прямоугольника смежные стороны равны ($ BH = BE = 1 $), BHDE является квадратом со стороной 1. Отсюда следует, что $ DH = 1 $ и $ DE = 1 $.

Площадь четырехугольника ABCD можно найти как сумму площадей треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle BCD $.
Площадь треугольника $ \triangle ABD $ равна: $ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot 1 = \frac{1}{2} AD $.
Площадь треугольника $ \triangle BCD $ равна: $ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot 1 = \frac{1}{2} CD $.
Таким образом, площадь четырехугольника ABCD: $ S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} (AD + CD) $.

Выразим длины сторон AD и CD.
Из рисунка видно, что точка H лежит на отрезке AD, поэтому $ AD = AH + HD = AH + 1 $.
Поскольку $ \angle BAD $ — острый угол в прямоугольном треугольнике $ \triangle ABH $, то $ \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD $ — тупой угол. Это означает, что основание перпендикуляра E, опущенного из B на прямую CD, будет лежать на продолжении отрезка CD за точку C. Таким образом, точка C лежит между точками D и E, и $ DE = DC + CE $.
Так как $ DE = 1 $ (сторона квадрата BHDE) и $ CE = AH $ (из равенства треугольников), получаем: $ 1 = CD + AH $, откуда $ CD = 1 - AH $.

Подставим выражения для AD и CD в формулу площади четырехугольника:
$ S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AD + CD) = \frac{1}{2} ((AH + 1) + (1 - AH)) = \frac{1}{2} (AH + 1 + 1 - AH) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $.

Ответ: 1.