Номер 26.31, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.31. Докажите, что трапеция является равносоставленной с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.

26.31. Докажите, что трапеция является равносоставленной с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.

Для доказательства того, что трапеция равносоставлена с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции, мы покажем, как можно разрезать трапецию на части и сложить из них указанный параллелограмм. Доказательство будет состоять из двух этапов: сначала мы преобразуем трапецию в равновеликий ей треугольник, а затем этот треугольник преобразуем в искомый параллелограмм.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = a$ и $BC = b$. Высота трапеции равна $h$. Средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$. Нам нужно доказать, что эта трапеция равносоставлена с параллелограммом, у которого основание равно $m$, а высота равна $h$.

Этап 1: Преобразование трапеции в треугольник

1. Возьмем трапецию $ABCD$. Проведем прямую через вершину $B$ и середину $N$ боковой стороны $CD$. Продолжим эту прямую до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.

• $CN = DN$ (по построению, так как $N$ — середина $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).

3. Следовательно, $\triangle BCN \cong \triangle EDN$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA).

4. Из равенства треугольников следует, что их площади равны, и $DE = BC = b$.

5. Трапеция $ABCD$ состоит из многоугольника $ABND$ и треугольника $\triangle BCN$. Треугольник $ABE$ состоит из того же многоугольника $ABND$ и треугольника $\triangle EDN$. Так как $\triangle BCN \cong \triangle EDN$, мы можем "отрезать" $\triangle BCN$ и "приставить" его на место $\triangle EDN$. Это означает, что трапеция $ABCD$ равносоставлена треугольнику $ABE$.

6. Найдем параметры треугольника $ABE$. Его высота совпадает с высотой трапеции и равна $h$. Его основание $AE = AD + DE = a + b$.

Этап 2: Преобразование треугольника в параллелограмм

1. Теперь у нас есть треугольник $ABE$ с основанием $AE = a+b$ и высотой $h$. Нам нужно показать, что он равносоставлен параллелограмму с основанием $m = \frac{a+b}{2}$ и высотой $h$.

2. Найдем середину $F$ основания $AE$. Тогда $AF = FE = \frac{a+b}{2} = m$. Проведем медиану $BF$. Она делит треугольник $ABE$ на два треугольника: $\triangle ABF$ и $\triangle FBE$.

3. Построим параллелограмм $ABFG$, где сторона $AG$ параллельна и равна стороне $BF$.

4. Основание этого параллелограмма $BF$ равно $m = \frac{a+b}{2}$. Его высота, проведенная к основанию $BF$ (которое лежит на прямой $AE$), равна высоте треугольника $ABE$, то есть $h$. Таким образом, $ABFG$ — это искомый параллелограмм.

5. Докажем, что треугольник $ABE$ равносоставлен параллелограмму $ABFG$.

• Треугольник $ABE$ состоит из двух частей: $\triangle ABF$ и $\triangle FBE$.
• Параллелограмм $ABFG$ состоит из двух частей: $\triangle ABF$ и $\triangle AFG$ (диагональ $AF$ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника).

6. Чтобы доказать, что треугольник $ABE$ и параллелограмм $ABFG$ равносоставлены, достаточно доказать, что части, которыми они различаются, равносоставлены. То есть, нужно доказать, что $\triangle FBE$ равносоставлен $\triangle AFG$.

7. Две фигуры равносоставлены, если они имеют равную площадь (согласно теореме Бойяи-Гервина). Сравним площади этих треугольников:

• Площадь $\triangle FBE$: $S_{\triangle FBE} = \frac{1}{2} \cdot FE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{2} \cdot h$.
• Площадь $\triangle AFG$: Так как $\triangle AFG \cong \triangle ABF$, то $S_{\triangle AFG} = S_{\triangle ABF}$. Площадь $\triangle ABF = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{2} \cdot h$.

8. Поскольку $S_{\triangle FBE} = S_{\triangle AFG}$, эти треугольники равновелики, а значит, и равносоставлены.

9. Таким образом, мы показали, что:

• Трапеция $ABCD$ равносоставлена $\triangle ABE$.
• $\triangle ABE$ равносоставлен параллелограмму $ABFG$.

10. Из этого следует, что трапеция $ABCD$ равносоставлена параллелограмму $ABFG$, основание которого $BF = m = \frac{a+b}{2}$ и высота равна $h$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что трапецию можно разрезать на конечное число частей и сложить из них параллелограмм, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.