Номер 26.35, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.35. В выпуклом пятиугольнике ABCDE $\angle ABC = \angle CDE = 90^\circ$, $BC = CD = AE = 1$ см, $AB + DE = 1$ см. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.

26.35. В выпуклом пятиугольнике ABCDE $\angle ABC = \angle CDE = 90^\circ$, $BC = CD = AE = 1$ см, $AB + DE = 1$ см. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.

Для нахождения площади пятиугольника $ABCDE$ воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Преобразование фигуры

Площадь пятиугольника $S_{ABCDE}$ можно представить как сумму площадей трех треугольников: $S_{ABCDE} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle ACE}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDE$. Мысленно "отрежем" его и приставим к стороне $BC$ оставшейся части пятиугольника. Для этого выполним поворот $\triangle CDE$ вокруг точки $C$ таким образом, чтобы сторона $CD$ совместилась со стороной $CB$. Поскольку $BC=CD=1$ см, это возможно. Пусть новая вершина, в которую перейдет точка $E$, называется $E'$.

В результате такого преобразования мы получим новый треугольник $\triangle CBE'$, который будет конгруэнтен $\triangle CDE$. Из конгруэнтности следует: - Площади треугольников равны: $S_{\triangle CBE'} = S_{\triangle CDE}$.
- Стороны равны: $BE' = DE$ и $CE' = CE$.
- Угол $\angle CBE'$ равен углу $\angle CDE$: $\angle CBE' = 90^\circ$.
Площадь исходного пятиугольника равна площади новой фигуры, которая состоит из $\triangle ABC$, $\triangle ACE$ и $\triangle CBE'$. Эта новая фигура является четырехугольником $AECE'$, и ее площадь $S_{AECE'} = S_{ABCDE}$.

2. Анализ полученного четырехугольника $AECE'$

Рассмотрим угол $\angle ABE'$. Он складывается из двух углов: $\angle ABC$ и $\angle CBE'$.$\angle ABE' = \angle ABC + \angle CBE' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.Развернутый угол $\angle ABE'$ означает, что точки $A$, $B$ и $E'$ лежат на одной прямой.

Четырехугольник $AECE'$ состоит из двух треугольников: $\triangle ACE$ и $\triangle ACE'$. Докажем, что эти треугольники конгруэнтны. Для этого сравним их стороны: - Сторона $AC$ у них общая.
- По условию задачи, $AE = 1$ см.
- Длина стороны $AE'$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BE'$. Так как $BE' = DE$, получаем $AE' = AB + DE$. По условию, $AB + DE = 1$ см. Следовательно, $AE' = 1$ см. Таким образом, $AE = AE'$.
- При повороте отрезок $CE$ перешел в $CE'$, значит, их длины равны: $CE = CE'$.
Итак, $\triangle ACE \cong \triangle ACE'$ по трем сторонам (признак SSS).

3. Вычисление площади

Поскольку треугольники $\triangle ACE$ и $\triangle ACE'$ конгруэнтны, их площади равны: $S_{\triangle ACE} = S_{\triangle ACE'}$.Площадь пятиугольника $ABCDE$ равна площади четырехугольника $AECE'$, которая, в свою очередь, равна сумме площадей этих двух треугольников:$S_{ABCDE} = S_{AECE'} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle ACE'}$.Найдем площадь треугольника $\triangle ACE'$.Основание $AE'$ этого треугольника равно 1 см.Высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AE'$, — это перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AE'$. Так как $\angle ABC = 90^\circ$, отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $AB$, на которой лежит основание $AE'$. Следовательно, длина высоты равна длине стороны $BC$.По условию, $BC = 1$ см.Площадь $\triangle ACE'$ вычисляется по формуле:$S_{\triangle ACE'} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AE' \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.Так как $S_{\triangle ACE} = S_{\triangle ACE'}$, то $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}$ см$^2$.Итоговая площадь пятиугольника:$S_{ABCDE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle ACE'} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ см$^2$.

Ответ: 1 см$^2$.