Номер 26.24, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.24. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

26.24. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, про- ведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему ос- нованию. Найдите площадь трапеции.

1. Построение и анализ условия задачи

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD > BC$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям ($ \angle A = \angle B = 90^\circ $). В этом случае $ \angle C $ — тупой, а $ \angle D $ — острый.

Проведём высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ на большее основание $AD$. Длина этой высоты равна длине боковой стороны $AB$, то есть $CH = AB$. Четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому $AH = BC$.

Большая диагональ в такой трапеции — это $BD$. По условию, диагональ $BD$ пересекает высоту $CH$ в точке $O$ и делит её на отрезки $CO = 15$ см и $OH = 9$ см (считая от вершины $C$).

Также по условию, большая боковая сторона ($CD$) равна меньшему основанию ($BC$). Обозначим $BC = b$, тогда $CD = b$. Большее основание $AD$ обозначим как $a$.

2. Нахождение высоты трапеции

Высота $CH$ состоит из двух отрезков, на которые её делит диагональ $BD$.

$h = CH = CO + OH = 15 + 9 = 24$ см.

Следовательно, высота трапеции равна 24 см.

3. Использование подобия треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle HOD$ и $\triangle ABD$.

• $ \angle D $ — общий.
• $ \angle A = 90^\circ $ (по определению прямоугольной трапеции).
• $CH$ — высота, поэтому $CH \perp AD$, следовательно, $ \angle CHD = 90^\circ $. Так как точка $O$ лежит на $CH$, то $ \angle OHD = 90^\circ $.

Таким образом, $\triangle HOD$ и $\triangle ABD$ подобны по двум углам (признак подобия по острому углу в прямоугольных треугольниках).

Из подобия следует соотношение сторон:

$ \frac{AB}{HO} = \frac{AD}{HD} $

Подставим известные значения и выражения:

• $AB = h = 24$ см
• $HO = 9$ см
• $AD = a$
• $HD = AD - AH = AD - BC = a - b$

Получаем уравнение:

$ \frac{24}{9} = \frac{a}{a-b} $

Сократим дробь в левой части:

$ \frac{8}{3} = \frac{a}{a-b} $

$ 8(a-b) = 3a $

$ 8a - 8b = 3a $

$ 5a = 8b \implies a = \frac{8}{5}b $

4. Нахождение длин оснований

Теперь воспользуемся условием, что большая боковая сторона равна меньшему основанию: $CD = BC = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора:

$ CD^2 = CH^2 + HD^2 $

Подставим известные нам выражения: $CD = b$, $CH = 24$, $HD = a - b$.

$ b^2 = 24^2 + (a-b)^2 $

Теперь подставим в это уравнение найденное соотношение $ a = \frac{8}{5}b $:

$ b^2 = 576 + (\frac{8}{5}b - b)^2 $

$ b^2 = 576 + (\frac{3}{5}b)^2 $

$ b^2 = 576 + \frac{9}{25}b^2 $

$ b^2 - \frac{9}{25}b^2 = 576 $

$ \frac{16}{25}b^2 = 576 $

$ b^2 = \frac{576 \cdot 25}{16} $

Поскольку $576 = 16 \cdot 36$, то:

$ b^2 = 36 \cdot 25 $

$ b = \sqrt{36 \cdot 25} = 6 \cdot 5 = 30 $ см.

Мы нашли меньшее основание: $BC = b = 30$ см.

Теперь найдём большее основание:

$ a = \frac{8}{5}b = \frac{8}{5} \cdot 30 = 8 \cdot 6 = 48 $ см.

5. Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $

Подставим найденные значения оснований и высоты:

$ S = \frac{48+30}{2} \cdot 24 = \frac{78}{2} \cdot 24 = 39 \cdot 24 = 936 $ см².

Ответ: 936 см².