Номер 26.18, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.18. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $K$ и $M$ так, что $AK : KB = 3 : 4$ и $DM : MC = 5 : 3$.

Найдите отношение площадей четырёхугольников, на которые отрезок $KM$ разбивает данный параллелограмм.

26.18. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $K$ и $M$ так, что $AK : KB = 3 : 4$ и $DM : MC = 5 : 3$.

Найдите отношение площадей четырёхугольников, на которые отрезок $KM$ разбивает данный параллелограмм.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Обозначим длину его параллельных сторон $AB$ и $CD$ как $a$, а высоту, проведенную между этими сторонами, как $h$.

Согласно условию, точка $K$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $AK : KB = 3:4$. Это означает, что всю сторону $AB$ можно условно разделить на $3+4=7$ равных частей. Тогда длина отрезка $AK$ составляет 3 такие части, а $KB$ — 4 части. Выразим их длины через $a$:
$AK = \frac{3}{7}AB = \frac{3}{7}a$
$KB = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}a$

Аналогично, точка $M$ на стороне $CD$ делит ее в отношении $DM : MC = 5:3$. Сторону $CD$ можно условно разделить на $5+3=8$ равных частей. Тогда:
$DM = \frac{5}{8}CD = \frac{5}{8}a$
$MC = \frac{3}{8}CD = \frac{3}{8}a$

Отрезок $KM$ разделяет параллелограмм $ABCD$ на два четырехугольника: $AKMD$ и $KBCM$. Поскольку $AB \parallel CD$, то и отрезки $AK \parallel DM$, и $KB \parallel MC$. Следовательно, оба четырехугольника являются трапециями, и их общая высота равна высоте параллелограмма $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины оснований трапеции.

Найдем площадь трапеции $AKMD$. Ее основания — $AK$ и $DM$.
$S_{AKMD} = \frac{AK + DM}{2} \cdot h = \frac{\frac{3}{7}a + \frac{5}{8}a}{2} \cdot h = \frac{a(\frac{3 \cdot 8}{56} + \frac{5 \cdot 7}{56})}{2} \cdot h = \frac{a(\frac{24 + 35}{56})}{2} \cdot h = \frac{a \cdot \frac{59}{56}}{2} \cdot h = \frac{59}{112}ah$.

Теперь найдем площадь трапеции $KBCM$. Ее основания — $KB$ и $MC$.
$S_{KBCM} = \frac{KB + MC}{2} \cdot h = \frac{\frac{4}{7}a + \frac{3}{8}a}{2} \cdot h = \frac{a(\frac{4 \cdot 8}{56} + \frac{3 \cdot 7}{56})}{2} \cdot h = \frac{a(\frac{32 + 21}{56})}{2} \cdot h = \frac{a \cdot \frac{53}{56}}{2} \cdot h = \frac{53}{112}ah$.

Осталось найти отношение площадей этих четырехугольников. Оно будет равно отношению сумм их оснований, так как высота у них одинаковая.
$\frac{S_{AKMD}}{S_{KBCM}} = \frac{\frac{59}{112}ah}{\frac{53}{112}ah} = \frac{59}{53}$.

Ответ: $59:53$.