Номер 26.14, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.14. Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

26.14. Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$. Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Пусть $K$ — середина средней линии $MN$.

Проведём прямую через точку $K$, которая пересекает основания $BC$ и $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Эта прямая разбивает трапецию $ABCD$ на два многоугольника: $ABPQ$ и $PCDQ$.

Докажем, что эти два многоугольника равновелики, то есть их площади равны.

1. Определение вида многоугольников и их площадей
Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BC$, а точка $Q$ — на прямой $AD$, и по определению трапеции $BC \parallel AD$, то отрезки $BP$ и $AQ$ параллельны. Следовательно, четырёхугольник $ABPQ$ является трапецией с основаниями $BP$ и $AQ$ и высотой $h$. Его площадь равна:$S_{ABPQ} = \frac{BP + AQ}{2} \cdot h$

Аналогично, отрезки $PC$ и $QD$ параллельны, так как лежат на параллельных прямых $BC$ и $AD$. Следовательно, четырёхугольник $PCDQ$ также является трапецией с основаниями $PC$ и $QD$ и высотой $h$. Его площадь равна:$S_{PCDQ} = \frac{PC + QD}{2} \cdot h$

Для доказательства равенства площадей $S_{ABPQ}$ и $S_{PCDQ}$ достаточно доказать, что суммы длин их оснований равны, то есть:$BP + AQ = PC + QD$

2. Доказательство равенства сумм оснований
Введём систему координат. Расположим основание $AD$ на оси абсцисс ($y=0$), а основание $BC$ на прямой $y=h$. Пусть координаты вершин трапеции будут $A(x_A, 0)$, $D(x_D, 0)$, $B(x_B, h)$ и $C(x_C, h)$. Координаты точек $P$ и $Q$ будут $P(x_P, h)$ и $Q(x_Q, 0)$.

Найдём координаты точки $K$.Координаты середин боковых сторон $M$ и $N$:$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{h}{2}\right)$$N = \left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{h}{2}\right)$

Точка $K$ — середина отрезка $MN$, её координаты:$K = \left(\frac{\frac{x_A+x_B}{2} + \frac{x_C+x_D}{2}}{2}, \frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}}{2}\right) = \left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}, \frac{h}{2}\right)$

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точки $P(x_P, h)$ и $Q(x_Q, 0)$. Точка $K$ лежит на этой прямой.Средняя линия $MN$ параллельна основаниям и находится на равном расстоянии от них. Высота от основания $BC$ до средней линии равна $\frac{h}{2}$, и высота от средней линии до основания $AD$ также равна $\frac{h}{2}$.Поскольку точка $K$ лежит на средней линии, она равноудалена от прямых $BC$ и $AD$. Так как точки $P, K, Q$ лежат на одной прямой, а $K$ равноудалена от прямых, содержащих отрезки $BP$ и $AQ$, то $K$ является серединой отрезка $PQ$.(Это можно показать строго: проведём через $K$ прямую, параллельную основаниям, — это прямая, содержащая среднюю линию $MN$. Опустим перпендикуляры $PP'$ и $QQ'$ из точек $P$ и $Q$ на эту прямую. Получим два прямоугольных треугольника $\triangle KPP'$ и $\triangle KQQ'$. В них $PP' = QQ' = \frac{h}{2}$, углы $\angle PKP'$ и $\angle QKQ'$ равны как вертикальные, а углы $\angle KP'P$ и $\angle KQ'Q$ — прямые. Треугольники равны по катету и острому углу (или по второму признаку, если рассмотреть накрест лежащие углы при параллельных $BC, AD$ и секущей $PQ$). Из равенства треугольников следует $PK = QK$).

Поскольку $K$ — середина $PQ$, её координаты можно выразить через координаты точек $P$ и $Q$:$K = \left(\frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{h+0}{2}\right) = \left(\frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{h}{2}\right)$

Приравнивая абсциссы двух выражений для координат точки $K$, получаем:$\frac{x_P+x_Q}{2} = \frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}$$2(x_P+x_Q) = x_A+x_B+x_C+x_D$

Теперь вернёмся к равенству, которое нам нужно доказать: $BP + AQ = PC + QD$. Выразим длины этих отрезков через координаты, предполагая стандартное расположение вершин (точка с меньшей абсциссой лежит левее):$BP = x_P - x_B$$AQ = x_Q - x_A$$PC = x_C - x_P$$QD = x_D - x_Q$

Подставим эти выражения в равенство:$(x_P - x_B) + (x_Q - x_A) = (x_C - x_P) + (x_D - x_Q)$

Перенесём слагаемые с $x_P$ и $x_Q$ в левую часть, а остальные — в правую:$x_P + x_P + x_Q + x_Q = x_A + x_B + x_C + x_D$$2x_P + 2x_Q = x_A + x_B + x_C + x_D$$2(x_P + x_Q) = x_A + x_B + x_C + x_D$

Мы получили то же самое тождество, которое вывели из свойств точки $K$. Следовательно, равенство $BP + AQ = PC + QD$ является верным.

Поскольку суммы оснований трапеций $ABPQ$ и $PCDQ$ равны, а их высоты также равны, то их площади равны.Таким образом, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, делит эту трапецию на две трапеции с равными площадями.