Номер 26.11, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.11. Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см. Чему равна площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность?

26.11. Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см. Чему равна площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность?

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию дано: $a=50$ см и $b=32$ см.

Основным свойством описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для равнобокой трапеции, у которой боковые стороны равны ($c$), это свойство записывается как:$a + b = c + c = 2c$

Используя это свойство, найдем длину боковой стороны трапеции:$c = \frac{a+b}{2} = \frac{50+32}{2} = \frac{82}{2} = 41$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $h$ — высота трапеции. Для нахождения высоты проведем ее из вершины меньшего основания к большему. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенузой будет боковая сторона $c$, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований: $\frac{a-b}{2}$.

Вычислим длину этого катета:$\frac{50-32}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$, которая является вторым катетом:$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = c^2$$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{41^2 - 9^2}$Применим формулу разности квадратов:$h = \sqrt{(41-9)(41+9)} = \sqrt{32 \cdot 50} = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь, зная все необходимые величины, можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{50+32}{2} \cdot 40 = \frac{82}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 40 = 1640$ см².

Ответ: 1640 см².