Номер 25.36, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.36. Докажите, что $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$, где $h_1, h_2$ и $h_3$ — высоты треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

25.36. Докажите, что $ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r} $, где $h_1, h_2$ и $h_3$ — высоты треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Высоты, проведенные к этим сторонам, обозначим соответственно как $h_1, h_2, h_3$. Площадь треугольника $S$ можно выразить через любую из сторон и соответствующую ей высоту: $S = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$.

Из этих равенств выразим величины, обратные высотам:

$\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$;

$\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$;

$\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$.

Сложим левые и правые части полученных равенств, чтобы найти сумму из левой части доказываемого тождества:

$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

С другой стороны, рассмотрим правую часть доказываемого тождества. Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$:

$S = r \cdot p$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Из этой формулы выразим величину, обратную радиусу вписанной окружности:

$\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$.

Подставим в это выражение формулу полупериметра:

$\frac{1}{r} = \frac{(a+b+c)/2}{S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Таким образом, мы получили, что левая и правая части доказываемого равенства равны одному и тому же выражению:

$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S}$ и $\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Следовательно, равенство $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.