Номер 25.29, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.29. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.

25.29. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. По условию, длины этих отрезков равны 2 см и 6 см.

1. Найдем длину гипотенузы. Гипотенуза $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит биссектриса:

$c = 2 + 6 = 8$ см.

2. Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим катеты, прилежащие к отрезкам 2 см и 6 см, как $a$ и $b$ соответственно. Тогда:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этого соотношения мы можем выразить один катет через другой:

$b = 3a$

3. Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение известные нам значения и соотношения ($b = 3a$ и $c = 8$):

$a^2 + (3a)^2 = 8^2$

$a^2 + 9a^2 = 64$

$10a^2 = 64$

$a^2 = \frac{64}{10} = 6.4$

4. Найдем площадь треугольника. Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab$

Подставим в формулу выражение $b = 3a$:

$S = \frac{1}{2}a(3a) = \frac{3}{2}a^2$

Теперь подставим найденное значение $a^2 = 6.4$:

$S = \frac{3}{2} \cdot 6.4 = 3 \cdot 3.2 = 9.6$ см$^2$.

Ответ: 9,6 см$^2$.