Номер 25.35, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.35. Площадь трапеции равна $16 \text{ см}^2$. Площадь треугольника, образованного отрезками диагоналей и одной из боковых сторон, равна $3 \text{ см}^2$. Найдите площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции.

25.35. Площадь трапеции равна $16 \text{ см}^2$. Площадь треугольника, образованного отрезками диагоналей и одной из боковых сторон, равна $3 \text{ см}^2$. Найдите площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь трапеции $S_{ABCD} = 16 \text{ см}^2$.

Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle AOD$.Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, — это $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. По условию, площадь одного из них равна $3 \text{ см}^2$. Пусть $S_{\triangle AOB} = 3 \text{ см}^2$.

Важным свойством трапеции является то, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. То есть, $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.Это следует из того, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (равные высоте трапеции), следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$ и $S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$, то из равенства их площадей следует, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.Таким образом, $S_{\triangle COD} = 3 \text{ см}^2$.

Сумма площадей этих двух треугольников равна $S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = 3 + 3 = 6 \text{ см}^2$.

Площадь всей трапеции является суммой площадей четырех треугольников:$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$Отсюда мы можем найти сумму площадей треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции ($\triangle BOC$ и $\triangle AOD$):$S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOD} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD}) = 16 - 6 = 10 \text{ см}^2$.

Для четырех треугольников, образованных пересечением диагоналей трапеции, также выполняется свойство: произведение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно произведению площадей треугольников, прилежащих к боковым сторонам.$S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD}$Подставим известные значения:$S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC} = 3 \cdot 3 = 9$.

Обозначим искомые площади как $S_1 = S_{\triangle AOD}$ и $S_2 = S_{\triangle BOC}$. Мы получили систему из двух уравнений:$ \begin{cases} S_1 + S_2 = 10 \\ S_1 \cdot S_2 = 9 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $S_1$ и $S_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$.Решим это уравнение, разложив его на множители:$(x - 1)(x - 9) = 0$Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Следовательно, площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции, равны $1 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$.

Ответ: площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями трапеции, равны 1 см² и 9 см².