Номер 25.21, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.21. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведите две прямые так, чтобы они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника.

25.21. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведите две прямые так, чтобы они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Для того чтобы разделить треугольник $ABC$ на три равновеликих треугольника двумя прямыми, проходящими через вершину $B$, необходимо выполнить следующие построения и рассуждения.

Пусть две искомые прямые, проходящие через вершину $B$, пересекают противолежащую сторону $AC$ в точках $D$ и $E$. Эти прямые (а точнее, отрезки $BD$ и $BE$) разделяют исходный треугольник $ABC$ на три треугольника: $\triangle ABD$, $\triangle BDE$ и $\triangle BEC$.

По условию задачи, площади этих трех треугольников должны быть равны. Обозначим площадь как $S$. Тогда $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BDE} = S_{\triangle BEC}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для всех трех получившихся треугольников: $\triangle ABD$, $\triangle BDE$ и $\triangle BEC$, если в качестве их оснований рассматривать отрезки $AD$, $DE$ и $EC$ соответственно, которые лежат на одной прямой $AC$.

Запишем площади этих треугольников, используя общую высоту $h = BH$: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, $S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$ и $S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Так как по условию площади треугольников равны, мы можем приравнять их выражения: $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Поскольку высота $h$ для невырожденного треугольника не равна нулю ($h \neq 0$), мы можем сократить на $\frac{1}{2}h$ все части равенства. В результате получаем: $AD = DE = EC$.

Это означает, что точки $D$ и $E$ должны делить сторону $AC$ на три равные части.

Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить следующее построение: 1) разделить сторону $AC$ на три равных отрезка точками $D$ и $E$ (так, чтобы $AD = DE = EC = \frac{1}{3}AC$); 2) соединить вершину $B$ с точками $D$ и $E$ отрезками $BD$ и $BE$.

Полученные отрезки $BD$ и $BE$ лежат на искомых прямых, которые делят треугольник $ABC$ на три равновеликих треугольника.

Ответ: Нужно провести две прямые из вершины $B$ к точкам на противоположной стороне $AC$, которые делят эту сторону на три равных отрезка.