Номер 25.16, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.16. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей — 42 см.

25.16. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей — 42 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали $d_1$ и $d_2$. По условию задачи имеем:
$a = 39$ см
$d_1 - d_2 = 42$ см (будем считать, что $d_1$ — большая диагональ)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба ($a$).

Согласно теореме Пифагора для одного из этих треугольников, имеем:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $d_1 - d_2 = 42$
2) $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 39^2$

Из первого уравнения выразим $d_1$:
$d_1 = d_2 + 42$

Упростим второе уравнение:
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 1521$
$d_1^2 + d_2^2 = 4 \times 1521$
$d_1^2 + d_2^2 = 6084$

Подставим выражение для $d_1$ в упрощенное второе уравнение:
$(d_2 + 42)^2 + d_2^2 = 6084$
$d_2^2 + 84d_2 + 1764 + d_2^2 = 6084$
$2d_2^2 + 84d_2 + 1764 - 6084 = 0$
$2d_2^2 + 84d_2 - 4320 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$d_2^2 + 42d_2 - 2160 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2160) = 1764 + 8640 = 10404$
$\sqrt{D} = \sqrt{10404} = 102$
Найдем корни уравнения:
$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 102}{2}$
Так как длина диагонали не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:
$d_2 = \frac{-42 + 102}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь найдем длину второй диагонали $d_1$:
$d_1 = d_2 + 42 = 30 + 42 = 72$ см.

Площадь ромба вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим найденные значения диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 30 = 36 \cdot 30 = 1080$ см².

Ответ: 1080 см².