Номер 25.9, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.9. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $h$, а угол при вершине равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

25.9. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $h$, а угол при вершине равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$.

По условию задачи, высота $BH = h$, а угол при вершине $\angle ABC = \beta$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой и медианой.

1. Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит этот угол пополам:$ \angle ABH = \angle CBH = \frac{\beta}{2} $

2. Так как $BH$ является медианой, она делит основание $AC$ пополам:$ AH = HC = \frac{1}{2} AC $

3. Так как $BH$ — высота, треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Нам известен катет $BH = h$ и прилежащий к нему острый угол $\angle ABH = \frac{\beta}{2}$. Мы можем найти длину второго катета $AH$, используя определение тангенса:$ \tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} $

Подставим известные значения:$ \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{AH}{h} $

Выразим отсюда $AH$:$ AH = h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $

Теперь найдём длину всего основания $AC$:$ AC = 2 \cdot AH = 2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} $$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH $

Подставим в формулу выражения для $AC$ и $BH$:$ S = \frac{1}{2} \cdot \left(2h \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \cdot h $

После упрощения получаем:$ S = h^2 \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $

Ответ: $h^2 \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.