Номер 25.3, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.3. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведённая к гипотенузе, — 18,5 см. Найдите площадь треугольника.

25.3. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведённая к гипотенузе, — 18,5 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. По условию, один из катетов равен 12 см, пусть $a = 12$ см. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна $m_c = 18,5$ см.

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Следовательно, мы можем найти длину гипотенузы $c$:

$c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 18,5 = 37$ см.

Теперь, зная длины гипотенузы и одного из катетов, мы можем найти длину второго катета $b$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{37^2 - 12^2}$

$b = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 6 \cdot 35 = 210$ см².

Ответ: 210 см².