Номер 24.12, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.12. Докажите, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.

24.12. Докажите, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.

Пусть дан параллелограмм со смежными сторонами, длины которых равны $a$ и $b$. Обозначим высоту, проведенную к стороне $a$, как $h_a$, а высоту, проведенную к стороне $b$, как $h_b$.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле: произведение длины основания на длину высоты, проведенной к этому основанию.

Если в качестве основания выбрать сторону $a$, то площадь параллелограмма будет равна:

$S = a \cdot h_a$

Если же в качестве основания выбрать сторону $b$, то площадь того же самого параллелограмма будет равна:

$S = b \cdot h_b$

Поскольку площадь одной и той же фигуры не меняется в зависимости от способа вычисления, мы можем приравнять два полученных выражения:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Это равенство показывает, что произведение стороны параллелограмма на соответствующую ей высоту является постоянной величиной, равной площади параллелограмма. По определению, две величины ($x$ и $y$) являются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно ($x \cdot y = k$). В нашем случае стороны и соответствующие им высоты удовлетворяют этому условию.

Для наглядности преобразуем полученное равенство в пропорцию. Разделим обе части равенства на произведение $b \cdot h_b$:

$\frac{a \cdot h_a}{b \cdot h_b} = 1$

Из чего следует, что:

$\frac{h_a}{h_b} = \frac{b}{a}$

Данная пропорция демонстрирует, что отношение высот обратно отношению сторон, к которым эти высоты проведены. Это и есть математическое выражение обратной пропорциональности. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площадь параллелограмма $S$ можно выразить двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$, где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Из этого равенства следует пропорция $\frac{h_a}{h_b} = \frac{b}{a}$, которая по определению означает, что высоты обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.