Номер 24.10, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а большая диагональ — 10 см.

24.10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а большая диагональ — 10 см.

Обозначим сторону ромба как $a$, высоту как $h$, большую диагональ как $d_1$ и меньшую диагональ как $d_2$.По условию задачи дано: $h = 6$ см, $d_1 = 10$ см.

Площадь ромба ($S$) можно вычислить по двум формулам:1. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.2. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Также существует связь между стороной ромба и его диагоналями. Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора для одного из таких треугольников:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Выразим $a$ и $d_2$ через площадь $S$ из формул для площади:Из $S = a \cdot h$ следует, что $a = \frac{S}{h} = \frac{S}{6}$.Из $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ следует, что $d_2 = \frac{2S}{d_1} = \frac{2S}{10} = \frac{S}{5}$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $d_2$ в уравнение теоремы Пифагора:$(\frac{S}{6})^2 = (\frac{10}{2})^2 + (\frac{S/5}{2})^2$$\frac{S^2}{36} = 5^2 + (\frac{S}{10})^2$$\frac{S^2}{36} = 25 + \frac{S^2}{100}$

Решим полученное уравнение относительно $S$. Перенесем все члены с $S^2$ в левую часть:$\frac{S^2}{36} - \frac{S^2}{100} = 25$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 36 и 100 равно 900.$S^2 \cdot (\frac{25}{900} - \frac{9}{900}) = 25$$S^2 \cdot (\frac{16}{900}) = 25$

Выразим $S^2$:$S^2 = 25 \cdot \frac{900}{16}$

Теперь найдем площадь $S$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:$S = \sqrt{25 \cdot \frac{900}{16}} = \sqrt{25} \cdot \frac{\sqrt{900}}{\sqrt{16}} = 5 \cdot \frac{30}{4} = \frac{150}{4} = 37,5$

Таким образом, площадь ромба составляет 37,5 см$^2$.

Ответ: 37,5 см$^2$.