Номер 24.8, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.8. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

24.8. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть высоты проведены из вершины тупого угла $B$ к сторонам (или их продолжениям) $AD$ и $CD$. Обозначим высоты как $BE$ и $BF$ соответственно. По условию, $BE = 8$ см и $BF = 12$ см (или наоборот), а угол между ними $\angle EBF = 60^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BFDE$, образованный вершиной $B$, основаниями высот $F$ и $E$, и вершиной параллелограмма $D$. Сумма углов в любом четырехугольнике составляет $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны следующие углы:

• $\angle EBF = 60^\circ$ (по условию задачи).
• $\angle BED = 90^\circ$ (так как $BE$ — высота, перпендикулярная $AD$).
• $\angle BFD = 90^\circ$ (так как $BF$ — высота, перпендикулярная $CD$).

Таким образом, мы можем найти четвертый угол этого четырехугольника, который совпадает с углом $\angle D$ параллелограмма:

$\angle D = 360^\circ - \angle EBF - \angle BED - \angle BFD = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle D = 120^\circ$ является тупым углом параллелограмма. Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, поэтому острый угол параллелограмма (например, $\angle A$) равен:

$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь найдем площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = \text{сторона} \times \text{высота}$. В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Пусть $a = AB = CD$ и $b = AD = BC$. Высота, опущенная на сторону $AD$, равна $h_b = BE = 8$ см. Высота, опущенная на сторону $CD$, равна $h_a = BF = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABE$. В нем гипотенузой является сторона $AB = a$, катетом, противолежащим углу $\angle A$, является высота $BE = 8$ см. Угол $\angle A = 60^\circ$.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle A) = \frac{BE}{AB}$

$\sin(60^\circ) = \frac{8}{a}$

Найдем сторону $a$:

$a = \frac{8}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь, зная длину стороны $a = CD = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см и высоту $h_a = BF = 12$ см, проведенную к этой стороне, мы можем найти площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot 12 = \frac{192}{\sqrt{3}}$ см$^2$.

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{192 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{192\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.