Номер 24.4, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.4. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 15 см и 25 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

24.4. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 15 см и 25 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Пусть дан параллелограмм, стороны которого равны $a=15$ см и $b=25$ см. Меньшая сторона равна $15$ см.

Обозначим вершины параллелограмма как $A$, $B$, $C$, $D$. Пусть меньшая сторона $AB = 15$ см, а большая сторона $AD = 25$ см. Соответственно, $CD = 15$ см и $BC = 25$ см.

По условию задачи, одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне. Предположим, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Это означает, что угол $\angle ABD$ является прямым, то есть $\angle ABD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный сторонами $AB$, $AD$ и диагональю $BD$. Поскольку угол $\angle ABD = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. В нем $AB$ и $BD$ являются катетами, а сторона $AD$ (лежащая напротив прямого угла) — гипотенузой.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину катета $BD$, который является диагональю параллелограмма:

$AB^2 + BD^2 = AD^2$

Подставим известные значения длин сторон:

$15^2 + BD^2 = 25^2$

$225 + BD^2 = 625$

Выразим $BD^2$:

$BD^2 = 625 - 225 = 400$

Отсюда находим длину диагонали $BD$:

$BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$.

Выберем в качестве основания сторону $AB$. Длина основания $AB = 15$ см. Высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр, опущенный из вершины $D$ на прямую, содержащую основание $AB$. Так как мы установили, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$ ($\angle ABD = 90^\circ$), то длина диагонали $BD$ и есть высота параллелограмма, проведенная к основанию $AB$.

Таким образом, основание равно $15$ см, а высота равна $20$ см.

Вычисляем площадь параллелограмма:

$S = AB \times BD = 15 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 300 \text{ см}^2$.

Ответ: $300 \text{ см}^2$.